Эйлера - Фурье Формулы

для минимальной поверхности z=z( х, у) - уравнение вида оно получено Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1760) и истолковано Ж. Мёнье (J. Meusnier) как условие равенства нулю средней кривизны поверхности z=z(x, у), частные интегралы найдены Г. Монжем (G. Monge). Систематические исследования Э.-Л. У. Проведены С. М. Бернштейном, который показал, что Э.-Л. У. Является квазилинейным аллиптич. Уравнением рода р=2, вследствие чего решения Э.-Л. У. Обладают рядом свойств, резко отличающих их от решений лин..

формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена. где - Бернулли числа, Rn - остаточный член. С помощью Бернулли многочленов Bn(t), В n(0)=В п остаточный член записывается в виде. Для n=2sостаточный член R2s может быть представлен с использованием чисел Бернулли. Если производные и имеют одинаковые знаки и не меняют знака на [ р, т],то Если, кроме того, то Э.-М. Ф. Может быть записана в виде. В такой форме Э. - М. Ф. Применяется..

при а, не делящемся на простое число p>2, имеет место сравнение где - Лежандра символ. Таким образом, Э. К. Дает необходимое и достаточное условие того, чтобы число являлось квадратичным вычетом или же невычетом по модулю р. Доказан Л. Эйлером в 1761 (см. [1]). Л. Эйлер получил также и более общий результат. Для того, чтобы число было вычетом степени п по простому модулю p, необходимо и достаточно условие где Оба эти утверждения легко переносятся на случай конечного поля. Лит.:[1] ..

- простейший конечно-разностный метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием y(x0) = y0. Выбирается достаточно малый шаг hпо оси х, строятся точки x;=x0+ih, i=0, 1, 2, . , и искомая интегральная кривая у(х)заменяется ломаной (ломаная Эйлера), звенья к-poй прямолинейны на отрезках [ х i, xi+1], а ординаты определяются по формулам Если правая часть f(x, у )уравнения (1) непрерывна, то последовательность ломаных..