Антиномия Рассела

- одна из наиболее известных логи­ческих антиномий, обнаруженная в начале этого века англ. Фило­софом и логиком Б. Расселом (1872—1970). А. Р. Связана с понятием множества. Относительно каждого мно­жества представляется осмысленным задать вопрос, является оно своим собственным элементом или нет. Напр., множество всех лю­дей не является человеком, так же как множество стульев — это не стул. Но множество, объединяющее все множества, представля­ет собой множество и, значит, содержит самое себя в качестве элемента. Назовем множества, не содержащие себя в качестве эле­мента, обычными,а содержащие себя — необычными и рас­смотрим множество, составленное из всех обычных множеств. Поскольку это множество, о нем можно спрашивать, обычное оно или нет.

Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, не должно со­держать самое себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что рассматриваемое множество представ­ляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к проти­воречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным. Необычное множество содержит самое себя в качестве элемента, а элементами рассматриваемого множества являются только обычные множества. В итоге множе­ство всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не являет­ся таким элементом.

Полученное противоречие говорит о том, что такого множества не существует. Но если столь просто и ясно за­данное множество не может существовать, то в чем различие меж­ду возможными и невозможными множествами. Наивное, или интуитивное, представление о множестве как сколь угодно об­ширном соединении в чем-то однородных объектов способно вес­ти, таким образом, к противоречию и нуждается в прояснении и уточнении. А. Р. Не имеет специфически математического характера, ее можно переформулировать в чисто логических терминах. Б.Рассел предложил следующий популярный вариант открытой им анти­номии. Представим, что совет какой-то деревни так определил обязанности парикмахера. Брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин.

Должен ли он брить самого себя. Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Таким образом, этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно. Для избежания этой и других антиномий Б. Рассел построил теорию логических типов (см. Антиномия). Другим способом устранения А. Р. Является отказ от использова­ния «слишком больших множеств». Ни первый, ни второй из этих способов не являются общепризнанными..