Евклид Александрийский

Александрийский (предположительно 330-277 до н.э.) - математик Александрийской школы Древней Греции, автор первого дошедшего до нас трактата по математике. Е. (возможно) получил образование в Академии Платона (Афины). Свои труды Е. Писал по единой схеме в форме дедуктивно систематизированных обозрений открытий древнегреческих математиков классического периода. Известны такие работы Е. По математике, как трактаты 'О делении фигур', 'Конические сечения' (в четырех книгах), 'Феномены' (посвященные сферической геометрии), 'Поризмы', а также работы по астрономии, музыке и оптике, в которых ведущая роль отводилась математике. В сочинениях Е. 'Оптика' и 'Катоптрика' - хронологически первых систематических исследованиях свойств лучей света - рассматривались проблемы зрения и его применения для определения размеров различных предметов, построена теория зеркал.

Эти сочинения были математическими и по содержанию, и по структуре. Основное место в них, как и в 'Началах', отводилось теоремам, аксиомам и определениям. В своем главном труде 'Начала' (латинизированное - 'Элементы') Е. В 15 книгах изложил основные свойства пространства и пространственных фигур, т.е. Планиметрию, стереометрию и элементы теории чисел как подведение итогов предыдущего развития математики в Древней Греции и закладку оснований для дальнейшего развития математики. В книге Е. 'Начала' математика выступала, пишет М.Клайн, '...как идеальная версия того, что составляло содержание известного нам реального мира...'. Каждая книга 'Начал' начинается с определений. В первой книге 'Начал' приведены постулаты и аксиомы, за ними расположены в строгом порядке теоремы и задачи на построение (так, что доказательство или решение чего-либо последующего опирается на предыдущие).

Там же введены 23 предварительных определения объектов геометрии. Например, 'точка есть то, что не имеет частей'. 'линия - длина без ширины'. 'прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней'. Были введены определения угла, плоскости, квадрата, круга, сферы, призмы, пирамиды, пяти правильных многогранников и др. За определениями следовали 5 известных постулатов (требований) Е. К построению фигур в геометрии. 1) От всякой точки до всякой другой точки возможно провести только одну прямую линию. 2) Ограниченную прямую линию возможно непрерывно продолжать по прямой. 3) Из всякого центра и всяким раствором возможно описать круг. 4) Все прямые углы равны между собой. 5) Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встречаются с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Пятый постулат имеет столь важное значение, что он получил специальное наименование 'пятый постулат Е. О параллельных' ('постулат о параллельных', иногда также встречается неточное название 'аксиома Е. О параллельных'). Однако Е. В трактовке пятого постулата непосредственно не упоминал о существовании двух бесконечных прямых, которые никогда не пересекаются. Далее Е. Привел 9 аксиом (которые Аристотель назвал 'предельно всеобщими истинами'). 1) Равные одному и тому же равны и между собой. 2) Если к равным прибавляют равные, то и целые будут равны. 3) Если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны. 4) Если к неравным прибавляют равные, то и целые будут не равны. 5) Удвоенные одного и того же равны между собой.

6) Половины одного и того же равны между собой. 7) Совмещающиеся один с другим равны между собой. 8) Целое больше части. 9) Две прямые не содержат пространства. В аксиомах Е. Отсутствовали как понятие неопределяемого объекта, так и полноценные определения начальных понятий. Однако система аксиом Е. Послужила базисом для логического вывода (основываясь и на постулатах с определениями) остальных 465 предложений (теорем и задач) 'Начал', составляя вместе с постулатами Е. Конструктивный 'каркас' геометрии Е. Со времен опубликования книги 'Начала' попытки многих математиков доказать истинность постулата Е. О параллельных (на основании только аксиом Е. И четырех остальных его постулатов) предпринимались для того, чтобы, писал М.Клайн, '...удостовериться в истинности геометрии, лежащей в основе тысяч и тысяч теорем чистой и прикладной математики...'.

Такие утверждения Е., как 'прямая - кратчайшее расстояние между двумя точками', 'через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну' и постулат о параллельных были названы Кантом 'априорными синтетическими суждениями' (см. АПРИОРНЫЕ СИНТЕТИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ), являющимися частью 'оснащения' нашего разума. По Г.С.Клюгелю (1763), восприятие аксиом Е. (и в большей степени аксиомы о параллельных) как чего-то достоверного основано на человеческом опыте, ибо аксиомы опираются не столько на очевидность, сколько на опыт. А для Канта вообще был немыслим иной способ организации опыта, чем геометрия Е. И механика Ньютона. Таким образом, со времен 'Начал' Е. И фактически до конца 19 в.

Законы окружающего нас физического пространства макромира были, как полагал М.Клайн, '...всего лишь теоремами геометрии Евклида и ничем больше...'. Исследования К.Гаусса, Лобачевского, Л.Бойяи, Б.Римана и др. В 19 в. Привели к пониманию того, что постулат о параллельных невозможно доказать на основании 9 аксиом и остальных постулатов и что для обоснования постулата о параллельных необходима еще одна аксиома. А поскольку аксиома о параллельных полностью независима от остальных, то возможно заменить ее противоположной аксиомой и выводить следствия из вновь сконструированной аксиоматической системы. Это привело к созданию неевклидовых геометрий, в которых аксиома о параллельных непротиворечиво заменяется на другую аксиому, адекватную свойствам пространства, над которым строится данная неевклидова геометрия.

Книга 'Начала' Е. Дала возможность создать концепцию логического, математического подхода к познанию природы. Хотя сочинение Е. Предназначалось для изучения физического пространства, структура самого сочинения, его остроумие и ясность изложения стимулировали аксиоматически-дедуктивный подход не только к остальным областям математики, но и ко всем естественным наукам. Через 'Начала' Е. Понятие логической структуры всего физического знания, основанного на математике, стало достоянием интеллектуального мира..