Абелево Многообразие
Алгебраическая группа, являющаяся полным алгебраическим многообразием. Условие полноты накладывает сильные ограничения на А. М. Так, А. М. Можно вложить в качестве замкнутого подмногообразия в проективное пространство, каждое рациональное отображение неособого многообразия в А. М. Регулярно, групповой закон на А. М. Всегда коммутативен. Теория А. М. Над полем комплексных чисел С эквивалентна, по существу, теории абелевых функций, основы к-рой были заложены в работах К. Якоби (С. Jacobi), H. Абеля (N. Abel) и Б. Римана (В. Riemann). Если есть re-мерное векторное пространство, - решетка (см. Дискретная подгруппа).ранга 2n, то факторгруппа будет комплексным тором. Мероморфные функции на Xотождествляются с меро-морфными функциями на инвариантными относительно решетки периодов Г.
Если степень трансцендентности поля Кмероморфных функций на Xравна п, то Xможно наделить структурой алгебраич. Группы, единственной в силу компактности Xи такой, что поле рациональных функций этой структуры совпадает с К. Получающиеся таким образом алгебраич. Группы являются А. М. И всякое А. М. Над полем С имеет такой вид. Матрицу, задающую базис решетки Г, можно привести к виду где Е - единичная матрица, а Z - матрица порядка Комплексный тор Х= есть А. М. В том и только том случае, когда матрица Zсимметрична и ее мнимая часть положительно определена. Необходимо отметить, что как вещественные группы Ли все многообразия Xизоморфны, но это неверно для их аналитич. Или алгебраич. Структур, к-рые сильно меняются при деформации решетки Г.
Рассмотрение матрицы периодов Zпоказывает, что это изменение носит аналитич. Характер и это приводит к конструкции многообразия модулей всех абелевых многообразий данной размерности п. Его размерность равна (см. Модулей проблема). Теория А. М. Над произвольным полем kпринадлежит А. Вейлю (см. [1], [2]). Она имеет большое количество приложений как в самой алгебраич. Геометрии, так и в других областях математики, особенно в теории чисел и теории автоморфных функций. Каждому полному алгебраич. Многообразию можно сопоставить функ-ториальным образом А. М. (см. Алъбанезе многообразие, Пикара многообразие, Промежуточный якобиан). Эти конструкции представляют собой мощный метод изучения геометрич. Структуры алгебраич. Многообразий.
Так, с их помощью было получено одно из решений Лю-рота проблемы. Другим приложением является доказательство гипотезы Римана для алгебраич. Кривых над конечным полем. Именно для решения этой проблемы и была создана абстрактная теория А. М. Она послужила также одним из источников теории l-адических когомологий. Простейшим примером таких когомологий служит Тейта модуль А. М. Он является проективным пределом групп Х lп точек ln -то порядка при nЮбесконечности. Определение структуры последних было одним из главных достижений теории А. Вейля. Именно, если m взаимно просто с характеристикой рполя kи kалгебраически замкнуто, то группа изоморфна Ситуация в случае т=р гораздо сложнее и она привела к появлению таких понятий, как конечные групповые схемы, формальные группы и р-делимые группы.
Изучение действия эндоморфизмов А. М., в частности Фробениуса эндоморфизма на его модуль Тейта, дает возможность доказать гипотезу Римана, а также является основным инструментом в теории комплексного умножения А. М. Другой круг вопросов, связанный с модулем Тейта, состоит в исследовании действия на нем группы Галуа замыкания основного поля. Отсюда возникли гипотезы Тейта и теория Тейта- Хонды, дающая для А. М. Над конечными полями их описание в терминах модуля Тейта [5]. Интенсивно развивается изучение А. М. Над локальными, в том числе р-адическими полями. Аналог упомянутого выше представления А. М. В виде факторпространства (которое обычно наз. Униформизацией) был построен над такими полями Д. Мамфордом (D. Mumford) и М.
Рейно (М. Raynaud). В отличие от комплексного случая униформизуются не все А. М., а только имеющие редукцией по mod pмультипликативную группу [6]. Теория А. М. Над глобальными (числовыми и функциональными) полями играет важную роль в диофантовой геометрии. Основной результат здесь - теорема Морделла- Вейля. Группа рациональных точек А. М., определенного над конечным расширением поля рациональных чисел, конечно порождена. .
Дополнительный поиск Абелево Многообразие
На нашем сайте Вы найдете значение "Абелево Многообразие" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Абелево Многообразие, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "А". Общая длина 20 символа