Абеля - Гончарова Проблема

проблема Гончарова, - проблема в теории функций комплексного переменного, состоящая в нахождении множества всех функций из того или иного класса, удовлетворяющих соотношениям где - допустимые для данного класса последовательности комплексных чисел. Эта проблема была поставлена В. Л. Гончаровым (см. [2]). Функции ставится в соответствие ряд - интерполяционный ряд Абеля-Гончарова, где - полином Гончарова, определяемый равенствами. Случай, когда - действительные числа с формальной точки зрения рассмотрен Н. Абелем . Здесь Ряд (*) является инструментом для изучения нулей последовательных производных регулярных функций. Множество функций представимых рядом (*), наз. Классом сходимости А.- Г.

П. В случае был выделен класс сходимости А.- Г. П. В терминах ограничений на порядок и тип целых функций /(z) в зависимости от роста величины (см. [2]). В случае где - медленно растущая функция, был получен в нек-ром смысле точный класс сходимости А.- Г. П. (см. [6]). Были выделены также классы сходимости А.- Г. П. Для целых функций конечного и бесконечного порядков в терминах различных ограничений, наложенных на индикаторы соответствующих классов функций. Рассмотрена А.- Г. П. Для целых функций многих переменных. Для нек-рого класса узлов интерполяции получены точные оценки полиномов Гончарова. Пусть - класс функций f(z) вида - класс всевозможных последовательностей таких, что n= 0,1,. Границей сход и мости для класса La наз.

Верхняя грань тех значений r, для к-рых всякая функция представима рядом (*). Нижняя грань тех r, для к-рых существуют функция и последовательность такие, что наз. Границей единственности. Величины наз. Соответственно константами Уиттекера и Гончарова. Было показано, что (см. [6]). Доказаны также более общие утверждения. (см. [5], [10]). Таким образом, при А.- Г. П. Сводится к нахождению константы Ее точное числовое значение неизвестно, однако найдены оценки. 0,7259<W1<0,7378 (см. [9]). При рассмотрении А.- Г. П. В классе функций, регулярных в области и таких, что было показано, что для любого множества чисел удовлетворяющих условию где - возрастающая подпоследовательность натуральных чисел, из равенств следует Причем для любого числа b>0 cуществуют последовательность и функция для к-рых (см.[7]).

А.- Г. П. Включает так наз. Задачу о двух точках, поставленную Э. Уиттекером (см. [12]). Пусть последовательности таковы, что Задача состоит в выяснении условий, при к-рых существует регулярная на отрезке [0, 1] функция удовлетворяющая условиям Эта задача решалась в различных подклассах класса функций, регулярных в круге Полученные в нек-ром смысле точные условия выражены в терминах различных ограничений, наложенных на коэффициенты avk разложений в зависимости от (см. [3]). Эта задача была обобщена, для решения ее были использованы методы теории бесконечных систем линейных уравнений (см. [4]). В частном случае, когда последовательность образует арифметич. Прогрессию для целых функций экспоненциального типа, задача о двух точках в известном смысле решена до конца (см.

[8]). .