Больцмана статистика

физическая статистика для систем из большого числа невзаимодействующих частиц. Строго Б.с. Подчиняются атомные и молекулярные идеальные газы, т. Е. Газы, у которых потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Реально к таким системам относятся разрежённые газы, молекулы которых слабо взаимодействуют друг с другом. При большом числе частиц в системе невозможно детально описать поведение каждой частицы. Однако общие черты поведения системы в целом являются усреднённым отражением движения отдельных частиц. Частицы распределяются по возможным для них состояниям — их координаты r и импульсы р принимают определённые значения. Математически это описывается функцией распределения, характеризующей вероятность пребывания частицы в данном состоянии.

Для идеального газа молекул, находящихся в поле внешних сил, функция распределения Больцмана имеет вид. где р2/2m — кинетическая энергия молекулы массы m, U (r) — её потенциальная энергия во внешнем поле, k — Больцмана постоянная, Т — абсолютная температура газа. Постоянная А определяется из условия, что суммарное число частиц, распределённых по всем возможным состояниям, равно полному числу частиц в системе (условие нормировки). Так как величина kT характеризует среднюю энергию теплового движения молекулы, то в Б. С. Распределение частиц по состояниям определяется отношением полной энергии частицы (кинетическая плюс потенциальная) к энергии её теплового движения. Функция распределения (1) содержит два сомножителя.

Ехр (-р2/2mкТ) и exp (-U (r)/kT). Первый из них определяет распределение молекул по импульсам (или скоростям), т. Е. Является Максвелла распределением, а второй — распределение по координатам в поле внешних сил. Поэтому иногда только вторую зависимость называют распределением Больцмана, а формулу (1) называют распределением Максвелла — Больцмана. С помощью функции распределения Больцмана легко получить формулу изменения концентрации молекул воздуха (независимо от их импульса) с изменением высоты над земной поверхностью, а следовательно, и барометрическую формулу (См. Барометрическая формула), определяющую зависимость давления воздуха от высоты. В квантовой статистике вместо функции распределения рассматривается среднее число частиц n̅i, находящихся в данном квантовом состоянии с энергией Ei, и распределение Больцмана выглядит следующим образом.

Постоянная А находится из условия где N — общее число частиц в системе, и равна А = (N/V)(h2/mkT)3/2 (V — объём газа, h — Планка постоянная). Распределение (2) является предельным случаем квантовых статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака, когда можно пренебречь квантовомеханическими эффектами, связанными с взаимным влиянием тождественных частиц (см. Тождественности принцип). Оно справедливо для систем, у которых все числа n̅i малы по сравнению с 1. Это означает, что частицы проводят почти всё время в сильно различающихся состояниях и потому специфическое влияние их друг на друга не проявляется. Квантовая Б. С. Справедлива при малых плотностях газа N/V и высоких температурах (при данной массе частиц).

Фактически Б. С. Применима для всех разреженных молекулярных газов, т.к. Масса молекул велика и квантовое воздействие тождественных частиц друг на друга должно было бы проявиться лишь при столь высоких плотностях и низких температурах, которые соответствуют твёрдому (для гелия — жидкому) состоянию вещества (а в этом случае Б. С. Вообще неприменима, т.к. Взаимодействие молекул велико). К электронному газу в металлах и газу световых квантов — фотонов — Б. С. Неприменима (см. Статистическая физика). Лит. См. При ст. Статистическая физика. В. П. Павлов..