Диофантовы уравнения

(по имени древнегреческого математика Диофанта) алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Д. У. В современной математике расширено. Это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах (См. Алгебраическое число). Д. У. Называются также неопределёнными. Простейшее Д. У. Ax + by = 1, где а и b — целые Взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений. Если x0 и у0 — одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n — любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 — 2n (здесь x0 = 2, у0 = - 1).

Другим примером Д. У. Является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами (См. Пифагоровы числа). Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n — целые числа (m> n > 0). Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. У. Общая теория решения Д. У. Первой степени была создана в 17 в. Французским математиком К. Г. Баше. К началу 19 в. Трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д. У. Вида ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0, где а, b, с, d, е, f — целые числа, т.

Е. Общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что Д. У. X2 — dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d — целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. У. Второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм (См. Квадратичная форма), являющуюся основой решения некоторых типов Д. У. В исследованиях Д. У. Степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Д. У. A0 xn + a1xn-1y +. + anyn = с (где n ≥ 3, a0, а1,..., an, с — целые и многочлен a0tn + a1, tn-1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений.

Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. У., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. У. Вида ax3 + y3 =1. Существует много направлений теории Д. У. Так, известной задачей теории Д. У. Является Ферма великая теорема. Советским математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. У. Лит. Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956. Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920. Skolem Th., Diophantische Gleichungen, B., 1938.