Логические операции

логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. Е. Выражения логики предикатов (См. Логика предикатов), содержащие переменные (См. Переменная) и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. О. Можно разделить на две основные группы. Кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. Н. «количественные» («кванторные») слова. «все», «любой», «некоторый», «существует», «единственный», «не более (менее) чем», количественные числительные и т. П. Характерной особенностью кванторов является — в случае нефиктивного их применения — понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении.

Применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n — 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание. Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики — в логике высказываний (См. Логика высказываний). В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ⌉ истолковывается как частица «не», конъюнкция & истолковывается как союз «и», дизъюнкция ﹀ — как (неразделительное) «или», импликация ⊃ — как оборот «если..., то...», эквиваленция Логические операции — как оборот «тогда и только тогда, когда» и т.

П. При этом, однако, соответствие между Л. О. И средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два «истинностных значения». «истину» («и») и «ложь» («л»), так что пропозициональные Л. О. Можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя. Поэтому число различных n-местных (т. Е. От n аргументов) Л. О. Определяется из чисто комбинаторных соображений — оно равно 2n. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения.

В свою очередь, в качестве Л. О. Рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований. Таков, например, «штрих Шеффера» ∣ в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех .