Неопределённых коэффициентов метод

метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь может быть представлена в виде суммы где А, В и С — коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому. и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают. (А + В + С) х2 + (В - С) х - А = 3x2 - 1. Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. О., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов. А + В + С = 3, В - С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1.

Следовательно, справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь в виде где А, В, С и D — неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем. Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. О., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D. А - 2B + 3C = 1, —А + В + 3D = 1, A + C - 2D = —1, В - С + D = 0, откуда A = 0, В = —1/2, С = 0, D = 1/2, т. Е. В приведённых примерах успех Н.

К. М. Зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения было взято выражение то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А - 2В + 3С = 1, —A - B = 1, A + C = —1, В - С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С. Особенно важны применения Н. К. М. К задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y' = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда у = х + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + ․․․.

Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y" — выражение 2c2 + 3·2с3х + 4·3с4х2 + 5·4с5х3 + ․․․, затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают 2c2 + 3·2c3x + (1 + 4·3c4) x2 + (c2 + 5·4c5) x3 + ․․․ = 0, откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений. 2c2 = 0. 3·2с3 = 0. 1 + 4·3c4 = 0. C2 + 5·4c5 = 0. Решая последовательно эти уравнения, т. Е. Лит. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974. Т. 2, 20 изд., М., 1967. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.