Непараметрические методы

в математической статистике, методы непосредственной оценки теоретического распределения вероятностей и тех или иных его общих свойств (симметрии и т.п.) по результатам наблюдений. Название Н. М. Подчёркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо семейству, зависящему от конечного числа параметров (например, семейству нормальных распределений (См. Нормальное распределение)), и которые позволяют по результатам наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений. Разработка Н. М. Является в значительной степени заслугой советских учёных.

В качестве примера Н. М. Можно привести найденный А. Н. Колмогоровым способ проверки согласованности теоретических и эмпирических распределений (так называемый критерий Колмогорова). Пусть результаты n независимых наблюдений некоторой величины имеют функцию распределения F (x) и пусть Fn (x) обозначает эмпирическую функцию распределения (см. Вариационный ряд), построенную по этим n наблюдениям, a Dn — наибольшее по абсолютной величине значение разности Fn (x) — F (x). Случайная величина имеет в случае непрерывности F (x) функцию распределения Kn (λ), не зависящую от F (x) и стремящуюся при безграничном возрастании n к пределу Отсюда при достаточно больших n, для вероятности pn,λ. Неравенства получается приближённое выражение pn,λ ≈ 1 - К (λ).

(*) Функция К (λ) табулирована. Её значения для некоторых А приведены в табл. Таблица функции К (λ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | λ | 0,57 | 0,71 | 0,83 | 1,02 | 1,36 | 1,63 | |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| | К (λ) | 0,10 | 0,30 | 0,50 | 0,75 | 0,95 | 0,99 | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Равенство (*) следующим образом используется для проверки гипотезы о том, что наблюдаемая случайная величина имеет функцию распределения F (x).

Сначала по результатам наблюдений находят значение величины Dn, а затем по формуле (*) вычисляют вероятность получения отклонения Fn от F, большего или равного наблюдённому. Если указанная вероятность достаточно мала, то в соответствии с общими принципами проверки статистических гипотез (см. Статистическая проверка гипотез) проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, получены ли две независимые выборки, объёма n1 и n2 соответственно, из одной и той же генеральной совокупности с непрерывным законом распределения. При этом вместо формулы (*) пользуются тем, что вероятность неравенства как это было установлено Н.

В. Смирновым, имеет пределом К (λ), здесь Dn1, n2 есть наибольшее по абсолютной величине значение разности Fn1 (х) — Fn2 (х). Другим примером Н. М. Могут служить методы проверки гипотезы о том, что теоретическое распределение принадлежит к семейству нормальных распределений. Отметим здесь лишь один из этих методов — так называемый метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем замечании. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами α и σ, то где Ф-1 — функция, обратная нормальной. Т. О., график функции у = Ф-1[F (x)] будет в этом случае прямой линией, а график функции у = Ф-1[Fn (x)] — ломаной линией, близкой к этой прямой (см. Рис.). Степень близости и служит критерием для проверки гипотезы нормальности распределения F (x).

Лит. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969. Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1968. Ю. В. Прохоров. Рис. К ст. Непараметрические методы..