Операторы

в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики (См. Квантовая механика) и квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля) и служащее для сопоставления определённому вектору состояния (или волновой функции) ψ др. Определённых векторов (функций) ψ'. Соотношение между ψ и ψ' записывается в виде ψ' = L̂ψ, где L̂ — оператор. В квантовой механике физическим величинам (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставятся в соответствие О. L̂ (О. Координаты, О. Импульса и т.д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию) ψ, т. Е. На величину, описывающую состояние физической системы. Простейшие виды О., действующих на волновую функцию ψ(х) (где х — координата частицы), — О.

Умножения (например, О. Координаты x̂, x̂ψ = хψ) и о. Дифференцирования (например, О. Импульса p̂, p̂ψ =, где i — мнимая единица, ħ — постоянная Планка). Если ψ — вектор, компоненты которого можно представить в виде столбца чисел, то О. Представляет собой квадратную таблицу — матрицу (См. Матрица). В квантовой механике в основном используются линейные операторы (См. Линейный оператор). Это означает, что они обладают следующим свойством. Если L̂ψ1 = ψ'1 и L̂ψ2 = ψ'2, то L̂(c1ψ1 + c2ψ2) = c1ψ'1 + c2ψ'2, где c1 и с2 — комплексные числа. Это свойство отражает Суперпозиции принцип — один из основных принципов квантовой механики. Существенные свойства О. L̂ определяются уравнением L̂ψn = λnψn, где λn — число. Решения этого уравнения ψn называется собственными функциями (собственными векторами) оператора L̂.

Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина L имеет определённое значение λn. Числа λn называется собственными значениями О. L̂, а их совокупность — спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным. В первом случае уравнение, определяющее ψ n, имеет решение при любом значении λn (в определённой области), во втором — решения существуют только при определённых дискретных значениях λn. Спектр О. Может быть и смешанным. Частично непрерывным, частично дискретным. Например, О. Координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. Энергии в зависимости от характера действующих в системе сил — непрерывный, дискретный или смешанный спектр.

Дискретные собственные значения О. Энергии называются энергетическими уровнями. Собственные функции и собственные значения О. Физических величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. К. Непосредственно измеряемые физич. Величины всегда принимают веществ. Значения, то соответствующие квантовомеханич. О. Должны иметь веществ. Собств. Значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. Величины в любом состоянии ψ должно получаться одно из возможных собств. Значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. Функций (векторов) ψn О. Этой физич. Величины. Др. Словами, совокупность собств. Функций (векторов) должна представлять полную систему.

Этими свойствами обладают собств. Функции и собств. Значения т.н. Самосопряжённых О., или эрмитовых операторов (См. Эрмитов оператор). С О. Можно производить алгебраич. Действия. В частности, под произведением О. L̂1 и L̂2 понимается такой О. L̂ = L̂1L̂2, действие которого на вектор (функцию) ψ даёт L̂ψ = ψ’’, если L̂2ψ = ψ’ и L̂1ψ’ = ψ’’. Произведение О. В общем случае зависит от порядка сомножителей, т. Е. L̂1L̂2 ≠ L̂2L̂1. Этим алгебра О. Отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. Тесно связана с возможностью одновременного измерения физических величин, которым отвечают эти О. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин является равенство L̂1L̂2 = L̂2L̂1 (см.

Перестановочные соотношения). Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классической механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физические величины, входящие в уравнения классической механики, соответствующими им О. Всё различие между квантовой и классической механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому О. В квантовой механике иногда называют q-числами, в отличие от с-чисел, т. Е. Обыкновенных чисел, с которыми имеет дело классическая механика. О. Можно не только умножать, но и возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. В общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом которых являются унитарные операторы (См.

Унитарный оператор). Унитарные О. Не меняют норм («длин») векторов и «углов» между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. Описывается развитие квантовомеханической системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. Преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классической механике играют канонические преобразования (см. Механики уравнения канонические). В квантовой механике применяется также О. Комплексного сопряжения, не являющийся линейным.

Произведение такого О. На унитарный О. Называются антиунитарным О. Антиунитарные О. Описывают преобразование обращения времени (См. Обращение времени) и некоторые др. В теории квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, широко применяется метод квантования вторичного (См. Квантование вторичное), в котором рассматриваются состояния с неопределённым или переменным числом частиц и вводятся О., действие которых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с измененным на единицу числом частиц (О. Рождения и поглощения частиц). О. Рождения или поглощения частицы в данной точке х, (х) формально подобен волновой функции ψ(х), как q- и с-числа, отвечающие одной и той же физической величине соответственно в квантовой и классической механике.

Такие О. Образуют квантованные поля, играющие фундаментальную роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории элементарных частиц. См. Квантовая теория поля). Лит. См. При статьях Квантовая механика, Квантовая теория поля. В. Б. Берестецкий..