Поле (алгебраич.)

Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. Отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия (основные ‒ сложение и умножение, и обратные им ‒ вычитание и деление). Этим же характеризуются и П. Полем называется всякая совокупность (или множество) элементов, над которыми можно производить два действия ‒ сложение и умножение, подчиняющиеся обычным законам (аксиомам) арифметики. I. Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, т. Е. A + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c. II. Существует элемент 0 (нуль), для которого всегда а + 0 = а. Для каждого элемента а существует противоположный -а, и их сумма равна нулю.

Отсюда следует, что в П. Выполнима операция вычитания а - b. III. Существует элемент е (единица), для которого всегда ае = а. Для каждого отличного от нуля элемента а существует обратный a-1. Их произведение равно единице. Отсюда следует возможность деления на всякое не равное нулю число а.IV. Связь между операциями сложения и умножения даётся дистрибутивным законом. A (b + c) = ab + ac. Приведём несколько примеров П. 1) Совокупность Р всех рациональных чисел. 2) Совокупность R всех действительных чисел. 3) Совокупность К всех комплексных чисел. 4) Множество всех рациональных функций от одного или от нескольких переменных, например с действительными коэффициентами. 5) Множество всех чисел вида а + b , где а и b ‒ рациональные числа.

6) Выбрав простое число р, разобьем целые числа на классы, объединив в один класс все числа, дающие при делении на р один и тот же остаток. Возьмём в двух классах по представителю и сложим их. Тот класс, в который попадёт эта сумма, назовем суммой выбранных классов. Аналогично определяется произведение. При таком определении сложения и умножения все классы образуют П. Оно состоит из р элементов. Из аксиом I, II следует, что элементы П. Образуют коммутативную группу.