Положительная логика

логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. Е. С обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А — ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в П. Л. Отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств (См. Косвенное доказательство), в том числе доказательств от противного (См. Доказательство от противного), а также явные определения отрицания типа ⌉ А = dfA (f, где ⌉ — знак отрицания, ⊃ — Импликация, а f — пропозициональная переменная или какое-либо «допустимое» абсурдное утверждение. П. Л. Можно назвать, таким образом, логикой без отрицания. Логические законы (См. Логический закон), соответствующие правильным рассуждениям в П.

Л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях (См. Логическое исчисление), из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией (См. Логическая операция) — импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией (См. Конъюнкция), дизъюнкцией (См. Дизъюнкция), импликацией и эквиваленцией. Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. В ст. Логика) задаётся с помощью двух аксиомных схем. 1. А ⊃ (В ⊃ A), 2. (A ⊃ (В ⊃ С)) ⊃ ((А ⊃ В) ⊃ (А ⊃ C) и правила modus ponens. Полное положительное исчисление высказываний — добавлением к схемам (1) и (2) следующих.

3. (А & В) ⊃ А, 4. (A & В) ⊃ В, 5. А ⊃ (В ⊃ (A & В)), 6. (A ⊃ С) ⊃ ((B ⊃ С) ⊃ ((А ∨ В) ⊃ C)), 7. А ⊃ (A ∨B), 8. В ⊃ (A ∨ B) и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А ⊃ В) & (В ⊃ А). Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П. Л. Последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы 9. (А ⊃ В) ⊃ ((А ⊃⌉ В) ⊃ ⌉ А) или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику (См. Минимальная логика) Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний — минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя. К последней схему 10. ⌉ А ⊃ (А ⊃ В) (противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему 11.

⌉ А (А (исключенного третьего принцип (См. Исключённого третьего принцип)), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний. Поскольку все законы П. Л. Имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы — вообще как «частичные системы». Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые «сами по себе», и «те же» исчисления «внутри» более сильной логики — это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.

Лит. Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. С англ., т. 1, М., 1960, § 26. Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. С англ., М., 1972, гл. 1:1, §§ 2—6. М. М. Новосёлов..