Упорядоченные и частично упорядоченные множества

(математичексие) множества, в которых каким-либо способом установлен порядок следования их элементов или, соответственно, частичный порядок. Понятия порядка и частичного порядка следования элементов определяются следующим образом. Говорят, что для пары элементов х, у множества М установлен порядок, если указано, который из этих элементов следует за другим (если у следует за х или, что то же самое, х предшествует у, то пишут х π у, у a и b’ > b. Любое множество комплексных чисел становится тогда частично упорядоченным. В частности, частично упорядоченным становится любое множество действительных чисел (рассматриваемых как специальный случай комплексных). Т. К. При этом порядок следования таков, что действительное число a’ следует за действительным числом а тогда и только тогда, когда a’ больше а, то всякое множество действительных чисел оказывается даже просто упорядоченным.

Понятия частично упорядоченного (иначе – полуупорядоченного) и упорядоченного множества принадлежат к числу основных общих понятий математики (см. Множеств теория), Вполне упорядоченные множества. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его подмножество обладает первым элементом (т. Е. Элементом, за которым следуют все остальные). Все конечные упорядоченные множества вполне упорядочены. Натуральный ряд, упорядоченный по возрастанию (а также некоторыми др. Способами), образует вполне упорядоченное множество. Важность вполне упорядоченных множеств определяется главным образом тем, что для них справедлив принцип трансфинитной индукции (см. Трансфинитные числа). Упорядоченные множества, имеющие одинаковый порядковый тип, обладают и одинаковой мощностью, так что можно говорить о мощности данного порядкового типа.

С др. Стороны, конечные упорядоченные множества одинаковой мощности имеют один и тот же порядковый тип, так что каждой конечной мощности соответствует определённый конечный порядковый тип. Положение меняется при переходе к бесконечным множествам. Два бесконечных упорядоченных множества могут иметь одну и ту же мощность, но разные порядковые типы. Направленные множества. Частично упорядоченное множество называется направленным, если для всяких его элементов х и у существует такой элемент z, что z ϕ̲ х и z ϕ̲ у (a ϕ̲ b означает, что либо a ϕ̲ b, либо а = b). Понятие направленного множества позволяет дать весьма общее определение предела. Пусть f (p) - числовая (для простоты) функция, заданная на направленном множестве М.

Число с называется пределом f (p) по направленному множеству М, если для всякого ε > 0 найдётся такой элемент , что для всех p из М таких, что р ≥ р выполняется неравенство .