Двучлен

(мат.) — В добавление сказанного в ст. Бином (см.) заметим по поводу бинома Ньютона. Уже Вьетту было известно, что от возвышения Д. А + b в какую угодно целую положительную степень n получается формула вида(1) (а +b)n = аn + P1an-1b1 + P2an-2b2 +. + Рn-1abn-1 + bn, где в правой части многочлен, состоящий из n+1 членов. В каждом из них сумма показателей над а и над b равна n. Кэффициенты же Р1, Р2,. Рn — суть некоторые целые числа. Ньютон первый показал закон составления этих коэффициентов. Коэфф. Рk оказывается равным числу сочетаний из n предметов по k (см. Сочетания), или, выражая это формулой(2) Pk = [n(n-1)...(n-k + 1)]/1.2.3...kУже Ньютон, а за ним и все остальные математики, между прочим Эйлер, рассматривали формулу, приведенную выше, также и для n дробных и отрицательных.

В этих случаях (а + b)n представляется уже не в виде многочлена с n+1 членами, а в виде бесконечного ряда, начинающегося с членоваn + Р1an-1b + Р2аn-2b2 +..., причем Рk вычисляется по формуле (2) и может не быть целым числом. Бесконечные ряды употребляются лишь в том случае, когда эти ряды суть так назыв. Сходящиеся (см. Ряд). Полагая b/a = х, мы приходим к рассмотрению выражения (1+x)m или, другими словами, к нахождению суммы ряда1 + (n/1)x + {[n(n-1)]/1·2}x2 + {[n(n-1)(n-2)]/1·2·3}x3 +. Для всех значений х и n действительных или мнимых, для которых ряд сходящийся. Полное решение послднего вопроса представляет знаменитая работа норвежского математика Абеля. "Recherches sur la série 1 + (m/1)х +. (см. Журнал Crell'я, т.

I, 1826). Ограничиваясь вещественными значениями х и m, замечаем, что формула(1+x)n = 1 + nx + {[n(n-1)]/1·2}x2 +. 1) при n целом и положительном справедлива, каково бы ни было значение х;2) при n не равном целому и положительному числу имеет место при -1 < х < +1;3) при х = +1 имеет место, когда m > -1;4) при х = — 1 имеет место, когда m > 0. Бином Ньютона дает возможность вычислять корни по приближению. Например:Вычисляя только написанные четыре члена, мы получим для число 1,70997858, в котором верны пять знаков после запятой.Д. Граве..