Изменение переменной независимой

Под этим названием известна одна из основных задач дифференциального и интегрального исчислений. И. Переменой независимой делается обыкновенно с целью привести дифференциальное уравнение, не поддающееся непосредственному интегрированию, к другому, которое представлялось бы одним из классов, удобных для интегрирования. Чтобы разъяснить, в чем состоит И. Переменной независимой заметим, что величины первых дифференциалов не зависят от того, которую из переменных считают за независимую. Первый дифференциал функции f(x) всегда выражается формулойdf(x) = f'(x).dxпричем, если желательно ввести новую независимую переменную t так, что прежняя независимая переменная х будет некоторой новой функцией от t, φ (t), то вместо х придется подставить φ(t), а вместо dx величинуdφ(t) = φ'(t).dt.Не останавливаясь на этом случае, рассмотрим И.

Переменной независимой для дифференциалов высших порядков. Пусть дана функция П(x, у, y', y ". Y(n)). Требуется ввести вместо независимой переменной x, ее функции у и всех производных, входящих в выражение П, новую независимую переменную ξ, ее новую функцию η и производные от этой функции η по ξ, которые означим через η', η ". Η(n), так что будетП(х,у,у'....y(n)) = Ф(ξ, η, η'. Η (n)).Здесь всегда предполагается, что задана такая связь между старыми переменными x и у, с одной стороны, и новыми ξ и η, с другой, что возможно выразить функцию П в виде некоторой функции Ф от новых переменных. И так задача И. Переменной независимой состоит в том, чтобы данное дифференциальное уравнениеП(х,у,у'....y(n)) = 0привести соответствующим выбором новых переменных к видуФ(ξ, η, η'.

Η (n)) = 0которое было бы удобнее трактовать. — Такое же значение имеет И. Переменной независимой в случае, когда независимых переменных много, например в случае дифференциальных уравнений с частными производными. Для примера рассмотрим уравнение колебания струны:d2u/dy2 — a2(d2u/dx2) = 0.Изменим независимые переменные так, чтобы искомая функция и осталась прежняя и введем только новые независимые переменные ξ и η при помощи уравненийξ = х + ауη = х — ауОтсюда будетd2u/dy2 — a2(d2u/dx2) = d2u/(dηdη)и, следовательно, заданное дифференциальное уравнение обратится в более простоеd2u/(dξdη) = 0которое интегрируется непосредственно. Общее его решение будети = П(ξ) + Ф(η)(см. Интегрирование уравнений). — Об изменении переменной независимой под знаком неопределенного интеграла см.

Интегральное исчисление.Д. Граве..