Интерполирование

В математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. Заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. Значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. Представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей.

В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что b "' = а " — а "', b " = а' — а ". С " = b " — b "'...Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.:Формула Ньютона.a = ao + {(b' + b1)/2 — 1/6[(d' + d1)/2] +. }n + {co/2 — eo/24 +. }n2 + {1/6[(d' + d1)/2] —. }n3 +. Формула Бесселя.a = ao + nb1 + [n(n — 1)/1.2].[(co + c1)/2] + [n(n — 1)(n — 1/2)/1.2.3]d1 + [(n + 1).n(n — 1)(n — 2)/1.2.3.4].[(eo + e1)/2] +. Формула Стирлинга.a = ao + [(b' + b1)/2]n + co(n2/1.2) + [(d' + d1)/2].[(n — 1)n(n + 1)/1.2.3] + eo[(n — 1)n2(n + 1)/1.2.3.4] +.

Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. В 15 час. Среднего времени.Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12°58'59,4 ".Простейший случай И. Встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности. Прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = ao + nb, т. Е. И. Сводится к решению простой пропорции.При помощи И. Производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т.

Е. Решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. Нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается n = (a — a0)/b. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов х1, х2.....хп, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:F(x) = U1{[(x — x2)(x — x3). (x — xn)]/[(x — x2)(x1 — x3). (x1 — xn)]} + U2{[(x — x1)(x — x3).

(x — xn)]/[(x2 — x1)(x2 — x3). (x2 — xn)]} +. + Un{[(x — x1)(x — x2). (x — xn-1)]/[(xn — x1)(xn — x2). (xn — xn-1)]} +. Где U1 = F(x1), U2 = F(x2). Un = F(xn).Употребление этой формулы встречается при И. Наблюдений.Геометрическое значение И. Заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. Из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.Для функций от двух и более аргументов формулы И.

Значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. Сперва по одному, а затем по другому аргументу.В практических приложениях определение значения функции для аргумента, лежащего не между данными, а вне их, известно под названием экстраполирования и совершается по правилам И. С той лишь разницей, что некоторые разности приходится вычислять, считая число их ограниченным. Числовые результаты экстраполирования всегда менее благонадежны, чем результаты И. Литература см. Исчисление конечных разностей.B. Витковский..