Логарифм

Л. Данного числа n называется показатель степени, в которую нужно возвести некоторое другое данное число а, называемое основанием, чтобы получить n. Так что зависимость между данным числом n, основанием а и Л. Х числа n выражается формулою n = aх. Л. Числа обозначается символом log, или lg, или L. Л. Числа n, взятый при основании а, обозначается иногда так. Lgan, причем всегда должно удовлетворяться равенство n = algan. Например, из равенства 1000=103 следует 3=lg101000. Из равенства n=аlgan вытекают свойства логарифмов, обусловливающие полезность этой функции, а именно. 1) Л. Произведения равен сумме Л. Производителей. 2) Л. Частного равен разности Л. Делимого и делителя. 3) Л. Степени равен произведению показателя степени на число, возводимое в степень.

4) Л. Корня равен Л. Подкоренной величины, разделенному на показатель корня. Эти свойства выражаются формулами:lg(uv) = lgu + lgv;lg(u/v) = lgu — lgv;lg(um) = mlgu;lgm√u = lgu/m.Обладая такими свойствами, Л. Дают возможность свести. Умножение на сложение, деление на вычитание, возведение в степень на умножение и извлечение корня на деление, что и выясняет огромное практическое значение Л. Для всех, кто имеет дело со сложными арифметическими вычислениями. При нашей десятичной системе исчисления самым удобным основанием оказывается число 10. Имеется и множество таблиц, в которых даются Л. Последовательных чисел начиная от 1 до 100000. При основании, равном 10, только Л. Целых степеней десяти суть целые числа, Л. Же простых чисел представляются десятичными дробями, например lg30=1,4771213.

Целая часть такой дроби наз. Характеристикою, а дробная — мантиссою. Характеристика определяется прямо по числу цифр целой части числа, именно, она равна числу таких цифр без единицы. Например, для числа 354,25, имеющего три цифры в целой части, характеристика будет 2. Благодаря такому легкому способу определения характеристики в таблицах дается лишь одна мантисса. Для большего упрощения вычислений самое вычитание Л. Заменяется обыкновенно сложением, для чего вводят вместо вычитаемого Л. Дополнение этого Л. Дополнением называется разность между Л. И числом 10. Если характеристика данного Л. Более 10, то характеристика дополнения будет отрицательная, что и обозначается знаком -, который ставится над нею. Например, дополнение от 12,3542351 будет .

Вычесть из одного Л. Другой Л. Все равно, что придать к первому Л. Дополнение второго и из результата вычесть 10. Для уяснения пользы, приносимой Л. При вычислениях, возьмем два примера. 1) Определим конечный результат арифметических действий, выражаемых формулой x=(53126·32135)/(25677·62353). Производя эти действия обыкновенными приемами, мы должны были бы исписать довольно много бумаги. С помощью Л. Задача решается тем, что подыскиваются в таблице Л. Чисел, стоящих в числителе, и Л. Чисел, стоящих в знаменателе, из последних в уме определяются их дополнения, и все это складывается следующим образом:Ближайший к нему Л. В таблицах имеет мантиссу 0278794, и ему соотвтствует в таблице число 10663. Соответствующее число должно иметь одну цифру в целой части.

Если возьмет 1,0668, то это число выразит собою искомое число с точностью 0,0001. 2) Найдем . Обыкновенная алгебра даже не дает никаких других приемов для вычисления такого радикала кроме логарифмирования, посредством которого задача решается тем, что отыскивается в таблице lg3=0,4771213. Делением этого Л. На 5 получается 0,0954242, ближайший к этому логарифм в таблицах находим. 0,0954135, которому соответствует в таблице число 1,2457. Это и будет с точностью 0,0001. Логарифмы были изобретены шотландским геометром Непером (Napier), который в 1614 году напечатал "Mirifici logarithmorum canonis descriptio", посвященное им принцу Валлийскому (впоследствии король Карл I). Это сочинение in 4° представляет 56 страниц текста и 90 страниц таблиц.

Оканчивается оно словами. "собирая плоды этого небольшого произведения, воздайте должную славу и благодарность Богу высшему создателю и расточителю всех благ". Непер принял за основание своих таблиц особое несоизмеримое число, имеющее чрезвычайно важное значение в анализе и обозначаемое обыкновенно через е. Такой выбор основания поясняется следующими соображениями. Пусть α есть весьма малая величина, а — основание какой-либо системы. Тогда члены арифметической прогрессии. 0, α, 2α, 3α. Представят собою Л. Членов геометрической прогрессии. 1, аα, а2α, а3α..., в которой знаменатель отношения аα, благодаря малости а, весьма мало отличается от 1. Назовем через β ту малую величину, на которую аα отличается от 1, так что aα=1+β.

Положим α/β=M. Тогда арифметическая прогрессия примет вид. 0, Mβ, 2Mβ, 3Mβ..., геометрическая же обратится в (1+β)0, (1+β)1, (1+β)2. Количество β совершенно произвольно. Известно только, что оно очень мало. Множитель же M зависит от того, какое мы избрали основание. Самое простое положить M=1. Основание, при котором М=1, и выбрано было Непером для его таблиц. Определим его величину. При М=1 упомянутая арифметическая прогрессия обращается в. 0, β, 2β, 3β..., геометрическая есть (1+β)0, (1+β)1, (1+β)2. Основание есть то число, которого Л. Равен единице. Положим, что (m+1)ый член арифметической прогрессии равен 1, то есть что mβ=1, тогда соответствующий член (1+β)m геометрической прогрессии и будет основанием, при котором М=1.

Подставим в этот член вместо β его величину из mβ=1, получим [1+(1/m)]m. Эта величина и будет основанием неперовых Л., так что, разлагая до бинома Ньютона, получимe = (1+m/1)m = 1 + m(1/m) + [m(m-1)/1.2]1/m2 +. Илиe = (1+1/m)m = 1 + 1 + (1-1/m)/1.2 + [(1-m/1)(1-2/m)]/1.2.3 +. ;так как β весьма мало, то m весьма велико, и дроби, содержащие m в знаменателе, по малой их величине можно отбросить. Таким образом получим:e = 1+1+(1/1.2)+(1/1.2.3)+(1/1.2.3.4)+...=2,71828....Неперовы Л. Называются иногда гиперболическими или натуральными. Натуральными потому, что проще всего было предположить М=1. Гиперболическими потому, что если в равносторонней гиперболе, отнесенной к асимптотам, принять абсциссу вершины за единицу, то площадь, заключенная между гиперболою, осью абсцисс, ординатою вершины и ординатою, соответствующею абсциссе x, равна lgx в неперовой системе.

Величина е имеет особенно важное значение в анализе благодаря существованию ряда:ex = 1+x+(x2/1.2)+(x3/1.2.3)+(x4/1.2.3.4)+...;благодаря способности разлагаться в такой ряд показательная функция eх служит переходом от алгебраических функций к тригонометрическим, потому что из сравнения этого ряда с разложениями cosx и sinx следуют формулы. .Зная Л. Числа m при данном основании а, можно определить Л. Х числа m и при всяком другом основании b, потому что из равенства m=е следует lgm=xlgab, откуда. Х=lgbm=(lgam)/(lgab). Из этой формулы видно, что, имея Л. Числа m при основании а, следует только помножить его на 1/(lgab), чтобы получить Л. Числа m при основании b. Множитель, служащий для перехода от одной системы к другой, называется модулем.

Модуль, на который следует множить неперовы Л. Для получения Л. При основании 10, равен 0,4349448. Л. Удовлетворяют, между прочим, следующим замечательным рядам. Lg(1+x)=(x — x2/2 + x3/3 + x4/4 +. )M, где M есть модуль для перехода от неперовых Л. Lg(n+1)-lgn = 2M[1/(2n+1) + 1/3(2n+1)3 + 1/5(2n+1)5 +. ]. Посредством последнего, весьма быстро сходящегося ряда обыкновенно и вычисляются Л. Следующим образом. Зная, что lg100=2, подставим в наш ряд 100 вместо n. Получим lg101 — 2 = M(1/201 + 1/3.2013 + 1/5.2015 +. ). Последующие члены ряда, стоящего в скобках, уже настолько малы, что ими можно пренебречь и простым вычислением получить lg101=2,0043214. Зная lg101, получим lg102 и так далее. Понятие о Л. Обобщается распространением логарифмирования и на мнимые функции.

При этом получаются формулы. Lg(a+bi) = lg[r(cosφ+isinφ)] = lgr + (2nπ+φ)i, где i=√(-1), r=√(a2+b2), cosφ=a/[√(a2+b2)], sinφ=b/[√(a2+b2)]Кроме Л. Чисел, в таблицах обыкновенно помещаются Л. Тригонометрических величин (см. Тригонометрические таблицы). Первые таблицы, в которых за основание было принято число 10, были напечатаны другом Непера Бриггом в 1624 г. Под заглавием "Arithmetica logarithmica". В таблице Бригга были даны Л. Чисел, начиная с 1 до 20000 и от 90000 до 100000, с 14 знаками в мантиссе. Голландский математик Влакк (Adrien Vlacq) пополнил пробел бригговских таблиц и напечатал в 1628 г. Таблицы, содержащие Л. Всех чисел от 1 до 100000, с десятью знаками в мантиссе. Из последующих изданий наиболее известны таблицы Гардинера, Баббаджа и Тейлора.

В настоящее время употребляются чаще всего при вычислениях таблицы Каллета (до 106000), карманные таблицы Лаланда с пятью знаками и таблицы Бремикера семизначные, представляющие обработку таблиц Веги "Thesaurus logarithmorum completus" (1794). Существуют и весьма распространены у нас русские табл. Бремикера, напечатанные стереотипно.Гауссовы Л. Для определения Л. Суммы и разности двух чисел по Л. Этих чисел Гаусс изобрел особые таблицы. Лучшие издания Гауссовых Л. Представляют издания Витштейна, Матиссена и Цеха.Н. Делоне..