Положительные и отрицательные числа

(величины). — Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 — 5 + 2 = 10 +2 — 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились число вместе со знаком считать за одно целое и назыв. Число со знаком (+) — П., а число со знаком (—) — отрицательным. В нашем примере +2 П. Число, а —5 отрицательное число. Многочлен рассматривают как сумму его членов, и след., 10 — 5 + 2 = (+10) + (—5) + (+2). Вообще а + (+b) = а + b, а + (—b) = а — b. Знак + перед первым членом обыкновенно подразумевается. В курсах начальной алгебры устанавливаются действия над П. И отрицательными числами, и потому ограничимся здесь немногими словами.

При помощи отрицательных чисел вычитание всегда выполнимо, напр. 3 — 8 = —5, так как 8 + (—5) = 3. Алгебраические преобразования приобретают общность, напр. Формула a — b + с = α — (b — с) справедлива при b больше с и при b меньше с.Предположим, что по известным данным требуется определить. Доход от какого-нибудь предприятия, расстояние искомой точки на прямой от данной точки, через сколько лет наступит ожидаемое событие и т. П. При решении такой задачи может получиться в ответе отрицательное число. Если же изменить задачу и искать величину убытка от предприятия, расстояние по другую сторону от данной точки, число лет, прошедших после некоторого события, и т. П., то в ответе получается в этом случае число П. Поэтому отрицательному решению придают смысл, противоположный решению положительному.

Во многих геометрических вопросах ищется соотношение между отрезками прямой и углами. Отрезок прямой выражается числом при помощи некоторого отрезка, принятого за единицу. Число, выражающее угол, есть длина дуги круга, описанной около вершины угла радиусом, равным единице. Обозначив данные отрезки и углы буквами, находят при помощи геометрических соображений искомое соотношение между ними. Полученный результат справедлив для положительных значений букв и для данного расположения чертежа. Если же буквам придавать значения отрицательные, то получится другое соотношение между числами, выражающими отрезки и углы, иначе расположенные. Сказанное поясняется на след. Примере. Предположим, что отрезок MN длиною r проектируется на прямую Ml, при чем проектирующая прямая МР образует с Ml угол θ.

Если угол между направлениями MN и Ml равен α, то для отрезка МР — проекции MN на Ml — получается формулаα = [rsin(θ—α)]/Sinθ. (1)Здесь угол α предполагается меньшим угла θ. Представим себе, что отрезок MN вращается и точка N принимает положение N1, N2 и N3, причем угол (MN1, Ml) = α1 . Π > α1 > θ. Угол (MN2, Ml) = 2π — α2, π > α2 > (π—θ). Угол (ΜΝ3, Μl) = 2π — α3, α3 < (π—θ). Если ввести обозначенияпроекция ΜΝ1 на Ml = a1проекция MN2 на Ml = a2проекция MN3 на Ml = a3то получим следующие формулы:α1 = rSin(α1 — θ)/Sin θ. (2)α2 = rSin(α2 — π + θ)/Sin θ. (3)α3 = rSin(π — α3 — θ)/Sin θ. (4)Во всех этих формулах входят числа П. Если же ввести отрицательные числа, то достаточно одной из этих формул, напр. Форм. (1). Действительно, полагая в формуле (1)a = -α1, α = α1a = -α2, α = -α2α = α3, α = -α3получим формулы (2), (3) и (4).Множество примеров подобного рода представляется в аналитической геометрии.

Там получаются формулы, справедливые для всякого чертежа благодаря тому, что буквам придаются значения П. И отрицательные.Д. Селиванов..