Сопротивление материалов*

— Когда, при составлении проекта сооружения или машины, форма, главные размеры частей и силы, которым они будут подвержены, уже определены на основании требований задания, данных механики и технологии, приходится еще определять остальные размеры так, чтобы эти части оказались прочными. Это определение и составляет главный предмет современного учения о С. Материалов. Древние не оставили никаких данных относительно способов, которыми их зодчие определяли прочные размеры своих сооружений. Постройки древних отличались массивностью, им не было надобности соблюдать экономию в материале, и они могли довольствоваться примерами прежних построек. Строители средневековых готических храмов, с их легкими сводами и контрфорсами, вероятно, делали опыты и расчеты, но сведений о том, как это делалось, до нас не дошло.

Первые основания научного исследования законов С. Материалов положены Галилеем в 1638 г. Он установил, что наибольший груз, поддерживаемый брусом, свободно лежащим на двух опорах, пропорционален ширине и квадрату вышины и обратно пропорционален длине. Гук, в 1678 г., нашел, что упругие растяжения пропорциональны силам. Затем Мариотт, выработавший представление о нейтральном слое в изгибающемся бруске, заметил, что он находится на средине высоты бруса симметричного сечения, но сделал ошибки в дальнейшем выводе формул. В течение столетия после этого многие ученые без успеха затрагивали тот же вопрос, и только в 1807 году Юнг решил его для случая "простого гнутия" бруса симметричного сечения, введя в первый раз понятие "о модуле упругости", а в 1824 г.

Навье дал уже полное решение. Дальнейшее развитие, как теоретическое, так и экспериментальное, учения о С. Материалов пошло очень быстро, так как им были заинтересованы почти все выдающиеся представители инженерного дела и физики. В настоящее время разработано для целей практических учение о С. Материалов и, независимо от него, научная теория упругости. Приемы первой заведомо логически неправильны. В ней формулы метода бесконечно малых применяются к малым, но конечным изменениям формы. Поэтому все выводы получаются лишь приблизительными, но требования практики, как увидим, так поставлены, что достигаемое приближение вполне достаточно, тем более, что результаты таких вычислений было многократно проверены опытом, и вне пределов этой проверки не применяются.При рассмотрении условий равновесия сил, приложенных к фиктивному "неизменяемому телу", две равные силы, действующие в обратные стороны вдоль одной прямой, взаимно уравновешиваются, независимо от того, действуют ли они в одной и той же точке или в двух разных.

Когда же рассматривается действительное тело, одаренное упругостью, дело усложняется. Частицы, к которым непосредственно приложена внешняя сила, изменяют настолько свое положение относительно других, что развивающиеся вследствие этого междучастичные силы упругости уравновесят ее. Вместе с тем упругое противодействие от частицы к частице передает усилие до точек приложения сил, уравновешивающих первую. При этом изменяются и размеры, и форма самого тела. Опыт показал, что пока изменения эти очень малы, они исчезают, как только силы, их производящие, перестают действовать, а величины этих изменений, при равных прочих условиях, оказываются пропорциональными действующим силам. Когда же силы и производимые ими изменения постепенно возрастают, сначала изменения эти перестают исчезать вполне, когда силы прекращают свое действие, а затем достигается и такая нагрузка, что тело разрушается.

Наименьшая нагрузка, оставляющая после себя "остаточную деформацию, соответствует "пределу упругости", а вторая, "пределу прочности" рассматриваемого материала. Нагрузки, которые входят в формулы С. Материалов, никогда не доходят до предела упругости. Поэтому-то производимые ими конечные, но очень малые изменения размеров можно считать как бы бесконечно малыми и применять к выводу соответственных формул методы дифференциального и интегрального исчисления, а также закон независимости действия сил. Относительно этого закона вопрос поставлен следующим образом. Целью учения о С. Материалов служит вычисление "прочных" размеров тел, данной формы, сделанных из известных материалов и подверженных данным силам, а для этого обыкновенно необходима неизменяемость формы такого рода тел, под влиянием сил на них действующих.

Исключение составляют лишь пружины (см.), а немногие гибкие части машин, веревки ремни и т. П. Тоже выбираются так, чтобы их длина не изменялась заметно. Поэтому-то можно сначала рассмотреть простейшие элементарные случаи деформации вещества твердого тела. Растяжение, сжатие, сдвиг, гнутие (изгиб) и кручение, а все более сложные деформации рассматривать, как сложившиеся из простых. Так, если действуют две растягивающие силы, окончательное растяжение можно считать суммой растяжений, которые произвела бы каждая сила, действуя в отдельности. Этот способ рассуждения, очевидно, неточен. Ведь по закону действия упругих сил от действия второй силы возрастет и первоначальная длина тела, и ее приращение, вызванное первой силой.

Однако, при очень малых приращениях, приращение приращения будет практически ничтожно. Для практики обыкновенно не требуется даже знать величину деформации, нужна лишь уверенность, что при вычисленных размерах предмет не разрушится под влиянием предполагаемых сил. Опыт показал, что для этого необходимо, чтобы ни в какой точке внутренний натяжении не превосходили той величины, которая соответствует пределу упругости. Смотря по роду материала и сооружения, принято допускать лишь нагрузки, ни в каком случае не превышающие половины этой величины. Такой "запас прочности" вполне покрывает погрешности, допускаемые при вычислениях. Для решения практических вопросов о С. Материалов нужны и формулы, и знание свойств употребительных материалов, полученное из опыта.

Так как постановка этих опытов приноровлена к формулам, служащим для вычисления их результатов, то необходимо познакомиться сначала с формулами. Рассмотрим элементарные деформации, на которые можно разлагать более сложные деформации.1) Растяжение или сжатие под влиянием равномерно распределенной нагрузки. В таких условиях находится, например, проволока или прут, на котором висит груз, стены парового котла, камень в стене и т. П., в частях, достаточно удаленных от точек приложения внешних сил или от скреплений. В таком случае, если назвать поперечное сечение (в кв. Стм) буквой S, a силу, действующую на него в нормальном направлении (в кг), буквой Р, нагрузка на кв. Стм, T, получится от разделения P на S. Опыты показали, что растяжение оказывается пропорциональным длине L (стм), если рассматриваемая часть имеет по всей своей длине одинаковое сечение и однородное строение материала.

Коэффициент этой пропорциональности определяется обыкновенно "модулем упругости" (введенным в науку Юнгом), обозначаемым обыкновенно буквой E. величина эта тем больше, чем материал упруже, поэтому удлинение l = L[P/(ES)]. Значит, удлинение пропорционально длине, отношению силы к поверхности сечения, на которую они действуют, и обратно пропорционально числу E, характеризующему материал. Формула эта одинаково применяется и для малых растяжений, и для малых сжатий, вызываемых сравнительно небольшими нагрузками на каждый квадратный стм поверхности сечения. Если бы применимость этой формулы не ограничивалась очень малыми растяжениями l, то E равнялось бы нагрузке на кв. Стм Т = Р:S, производящей растяжение l = L, длине растягиваемого тела.

На деле E вычисляют, измерив очень маленькое растяжение l и соответствующие ему L, P и S. Получаются обыкновенно очень большие числа, имеющие вышеуказанный смысл [К. Бах вводит вместо E величину обратную. Коэффициент удлинения α, т. Е. Удлинение каждого сантиметра тела сечения 1 кв. Стм от нагрузки в 1 кг]. Опыты показали, что, при последовательном увеличении нагрузки T доходят до такой ее величины T е , при которой тело уже не возвращается к своей первоначальной длине L, когда усилие перестает действовать. Эту нагрузку Те.