Эллипс

Предположим, что на плоскости даны две точки F и F1. Геометрическое место точки М, для которой сумма расстояний MF и MF1 — величина постоянная, есть кривая линия, называемая Э. Точки F и F1 суть фокусы. Если в точке F ила F1 поместить источник света, то лучи после отражения от дуги Э. Соберутся в F1 или F. Отсюда и происходит название фокус (очаг, foyer, Brennpunkt). Точка О, делящая прямолинейный отрезок FF1 пополам, есть центр кривой. Это значит, что в точке О делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку. Введем обозначения. MF + MF1 = 2а, FF1 = 2с, b = √(а2 —с2). Если начало координат возьмем в точке O, ось x-ов направим по линии FF1, ось у-ов по перпендикуляру к FF1, то уравнение Э. Будетx2/a2 + y2/b2 = 1.Вид этой кривой изображен дстаточно описан.

Отложим по оси х-ов расстояние OD, равное а2/c, в ту сторону, где находится точка F, и проведем прямую DE перпендикулярно к оси x-ов. Эта прямая называется директриссой. Расстояние M до этой прямой обозначим через MP. Для всякой точки M Э. Отношение MF/MP есть величина постоянная, называемая эксцентриситетом и обозначаемая буквой е. В нашем случае е = с/а. Это показывает, что для Э. Е < 1. По другую сторону центра лежит фокус F1 и соответствующая ему директрисса D1E1. Точки пересечения Э. С осью х-ов (на ней находятся фокусы) обозначим через А и a1, а с осью у-ов через В и В1. В таком случаеАА1 = 2а, ВВ1 = 2b.АА1 назыв. Большой осью Э., а ВВ1 — малой осью. Точки A, А1, B, B1 назыв. Вершинами Э. Мы предполагаем, что А и В находятся на положительных частях осей координат, а А1 и B1 — на отрицательных.

Если начало координат перенесем в А1 и сохраним прежнее направление осей координат, то уравнения Э. Будету2 = 2px + qx2,где p = b2/a2, q = — b2/a2. Число 2р называется параметром.Уравнениеr = p/(1 + eCosφ)выражает Э. Относительно полярной системы координат, причем полюс находится в фокусе, а полярная ось проходит через вершину Э. При пересечении конуса плоскостью, удовлетворяющей некоторым условиям, получется Э. См. Конические сечения (см.).Д. С..