Классическая Философия

(Klein) Кристиан Феликс (1849-1925) - немецкий математик, глава математического мира и основатель одного из основных центров мировой науки первой четверти 20 в. - Геттингенской физико-математической школы. Исследования К. Оказали определяющее влияние на дальнейшее развитие математики и физики. Иностранный член Петербургской академии наук (1905), член-корр. Берлинской академии наук (1913), тайный советник и представитель Университета Геттингена в верхней палате Парламента Пруссии. Окончил Университет Бонна (1865, доктор философии с 1868). Большое влияние на К. В этот период оказали активные научные контакты с математиками К.Жорданом и С.Ли. Профессор Университета Эрлангена (1872), Высшей технической школы Мюнхена (1875), Университета Лейпцига (1880), Университета Геттингена (с 1886 и до ухода из жизни), декан математического факультета Университета Геттингена и созданного при нем Института математики (с 1890).

К. Был главным редактором ведущего математического журнала мира 'Mathematische Annalen' (1876-1914), руководитель работ по изданию полного собрания сочинений К.Ф.Гаусса (1898-1918), организатор и председатель 'Международной комиссии по преподаванию математики' (с 1898, сыгравшей большую роль в дальнейшем прогрессе в этом направлении). Основные труды. 'Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований' (1872), 'Лекции о римановой теории алгебраических функций и их интегралов' (1882), 'Теория эллиптических модулярных функций' и 'Теория автоморфных функций' (1890-1912, в четырех томах, в соавт. С Р.Фрикке), 'Теория волчка' (1898-1910, в четырех томах, в соавт. С А.Зоммерфельдом), 'Энциклопедия математических наук' (1898-1934, в шести томах), 'Элементарная математика с точки зрения высшей' (1908), 'Лекции о развитии математики в 19 столетии' (1925) и др.

К. Вел свои исследования в основном в области неевклидовых геометрий, а также теорий автоморфных и эллиптических функций, алгебраических уравнений, непрерывных групп. Основополагающие идеи К. В области геометрии изложены в 'Сравнительном обозрении новейших геометрических исследований', получившем известность как 'Эрлангенская программа К.'. До рубежа 1820-1830-х понятие 'геометрия' полностью отождествлялось с понятием 'евклидова геометрия'. На рубеже 1820-1830-х были опубликованы работы Лобачевского и Л.Больяи по гиперболической геометрии. В конце 1860-х Б.Риман постулировал равноправность евклидовой, гиперболической и эллиптической 'геометрий постоянной кривизны'. Понселе начал изучать проективную (полностью независимую от евклидовой), а Мебиус - круговую геометрии.

В работах К. Исследовались 'общие' проективные метрики и геометрии Евклида, и неевклидовых геометрий Лобачевского и Б.Римана. В Эрлангенской программе К. Предложил теоретико-групповой подход к понятию 'геометрия'. Так как 'содержание каждой науки можно описать, указав те объекты, которые эта наука рассматривает, и те свойства этих объектов, которые изучаются в рамках интересующей нас науки', то К. Фиксировал некоторое множество преобразований и принимал изучение сохраняющихся при этих преобразованиях свойств геометрических фигур за выделенное направление геометрии, соответствующее указанному множеству преобразований. Фактически К. Определял любую геометрию областью действия (плоскость, пространство и т.п.) и группой симметрии (автоморфизмов), причем новая группа симметрии дает новую геометрию.

При этом, как пишет И.М.Яглом, 'основное различие . Евклидовой и гиперболической геометрии К. Видит вовсе не в возможности проведения через данную точку одной или нескольких прямых, не пересекающих указанную прямую - второстепенное и довольно малосущественное различие, - а лишь в разном строении групп симметрии евклидовой и гиперболической плоскостей'. Работая в области неевклидовых геометрий, К. Однако интерпретировал их только как структуры, возникающие при метризации геометрии Евклида новыми метриками (функциями определения расстояния между точками пространства). До создания теории относительности Эйнштейна - Пуанкаре многие научные лидеры отказывали неевклидовым геометриям в признании их такой же фундаментальности и применению к внешнему миру, что и евклидова геометрия.

Работы К. Оказали существенное влияние на А.Пуанкаре, который совместно с Эйнштейном является одним из создателей специальной теории относительности. Установление связи между моделью Пуанкаре (плоской) неевклидовой геометрии Лобачевского и теорией автоморфных функций К. Дало 'геометрический ключ ко всей теории' /специальной теории относительности - C.C./. К. Являлся автором тезиса о важной роли 'обычных' приемов математического творчества, а также абстракции и идеализации. 'примитивная интуиция не точна, а утонченная интуиция вообще не является интуицией, а возникает в результате логического вывода из аксиом'. К. Был убежден в возможности построения непротиворечивой теории на основании понятия 'бесконечно малая'.

По К., для этого необходимо отказаться от аксиомы вещественных чисел Архимеда. В своих работах, как писал А.Н.Колмогоров, 'К. Стремился раскрыть внутренние связи между отдельными направлениями математики и между математикой, с одной стороны, физикой и техникой - с другой'. В 1908 в одной из своих речей К. Предостерегал против 'чистой' математики и 'чрезмерной свободы в создании произвольных математических структур', являющихся 'смертью всякой науки'. Для К. Геометрические аксиомы 'не произвольные, а вполне разумные утверждения, как правило опирающиеся на наше восприятие пространства. Точное содержание геометрических аксиом определяется их целесообразностью'. При этом аксиома Евклида о параллельных, 'как того требуют наглядные представления, выполняется лишь с точностью, не превышающей определенные пределы'.

В книге 'Лекции о развитии математики в 19 веке' К. Противопоставлял прикладную ориентацию математической физики начала 19 в. И абстрактность идей математики 20 в. 'математика в наши дни напоминает крупное оружейное производство в мирное время. Витрина заполнена образцами, которые своим остроумием, искусным и пленяющим глаз выполнением восхищают знатока. Собственно происхождение и назначение этих вещей, их способность стрелять и поражать врага отходят в сознании людей на задний план и даже совершенно забываются'. В течение многих лет К. Стремился объединить в Геттингене выдающихся ученых того времени, с тем, чтобы их совместные работы и активные научные контакты создали идеальные условия для научного творчества.

К. Пригласил в свой физико-математический центр нобелевского лауреата физика-теоретика М.Борна. В Геттингенской школе теоретической физики работали, например, физик-ядерщик Р.Оппенгеймер (позднее - руководитель работ по созданию ядерного оружия) и один из создателей квантовой механики В.Гейзенберг. Были приглашены выдающиеся кенигсбергские математики Гильберт и Г.Минковский. К. На протяжении всего своего творчества оставался ученым, для которого математика 'является вполне живой наукой, которая беспрестанно включает в себя все новые проблемы, обрабатывает их, отбрасывает устаревшие, и, таким образом, она все вновь и вновь омолаживается'. К. Считал, что математика развивается 'подобно дереву, которое разрастается не путем тончайших разветвлений, идущих от корней, а разбрасывает свои ветки и листья вширь, распространяя их зачастую вниз, к корням.

В основных исследованиях в области математики не может быть окончательного завершения, а вместе с тем и окончательно установленного первого начала'..