Аксиоматическая Теория Множеств
-направление в математич. Логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. Логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. Теории. В более узком смысле термин "А. Т. М." может служить для обозначения к.-л. Формальной аксиоматич. Теории, направленной на построение нек-рого фрагмента содержательной ("наивной") теории множеств. Теория множеств, возникшая на рубеже 19-20 вв., уже в самом начале своего развития натолкнулась на парадоксы. Открытие таких фундаментальных парадоксов, как Рассела и Кантора (см. Антиномия), вызвало широкую дискуссию и способствовало коренному пересмотру логико-математич. Принципов. Аксиоматич. Направление в теории множеств можно рассматривать как инструмент более детального изучения положения дел в создавшейся ситуации.
Построение формальной А. Т. М. Начинается с точного описания языка, на к-ром формулируются утверждения. Затем принципы "наивной" теории множеств выражаются на описанном языке в виде аксиом, схем аксиом. Ниже дано краткое описание нек-рых наиболее распространенных систем А. Т. М. Важную роль при этом играет язык, содержащий следующие исходные символы. 1) переменные к-рые в языке играют роль общих имен множеств. 2) предикатные символы е (знак принадлежности) и = (знак равенства). 3) оператор дескрипции (означающий "такой объект, что..."). 4) логические связки и кванторы. (эквивалентно), (влечет), (или), (и), (не), (для всех), (существует). 5) скобки ( , ). Выражения языка делятся на термы и формулы. Термы являются именами множеств, а формулы выражают суждения.
Термы и формулы образуются согласно следующим правилам. П1. Если - переменные или термы, то и суть формулы. П2. Если Аи В - формулы и х - переменная, то суть формулы и - терм. Переменная хесть терм. Напр., формула выражает суждение "уесть подмножество z", ее естественно обозначить терм является именем множества всех подмножеств z, в привычной математич. Символике его обозначают через Pz. Пусть знак означает "стоящее слева есть обозначение для стоящего справа". Приведем нек-рые дальнейшие обозначения для формул и термов. Пустое множество. Множество таких х, что (х). где z не входит свободно в (х).(т. Е. Не является параметром формулы (х)). Неупорядоченная пара хи у. Одноэлементное множество из х.
Упорядоченная пара хи у. Объединение хи у. Пересечение хи у. Объединение всех элементов х. Декартово произведение х и у. wесть функция. Значение функции на элементе х. zесть стандартное бесконечное множество. Следующая аксиоматич. Теория А наиболее полно отражает принципы "наивной" теории множеств. Аксиомы А. А1. Аксиома объемности. ("если множества уи z содержат одни и те же элементы, то они равны"). А2. Аксиомы свертывания. где А - произвольная формула, не содержащая в качестве параметра у("существует множество у, содержащее те и только те элементы х, для к-рых А"). Описанная система противоречива. Если в А2 в качестве Авзять формулу то из формулы легко выводится , что противоречиво.
Аксиоматич. Системы теории множеств можно разделить на следующие четыре группы. а) Построение аксиоматич. Систем первой группы направлено на такое ограничение аксиом свертывания, к-рое обеспечивает наиболее естественный способ формализации обычных математич. Доказательств и в то же время позволяет избежать известных парадоксов. Первой аксиоматикой такого рода была система Z Цермело (Е. Zermelo, 1908). Однако в системе Z невозможно естественным образом формализовать нек-рые разделы математики, и А. Френкель (A. Fraenkel, 1922) предложил пополнить Z новым принципом, названным им аксиомой подстановки. Полученная система наз. Системой Цермело- Френкеля и обозначается ZF. б) Вторую группу составляют системы, аксиомы к-рых выбраны в связи с к.-л.
Объяснением парадоксов, напр, как следствий непредикативных определений. Сюда относятся. Разветвленная теория типов Рассела, простая теория типов Т, теории типов с трансфинитными индексами (см. Типов теория). в) Третья группа характеризуется использованием нестандартных средств логич. Вывода, многозначных логик, дополнительных условий на доказательства, бесконечных правил вывода. Системы, относящиеся к этому направлению, наименее развиты. г) Четвертая группа включает модификации систем первых трех групп, преследующие определенные логич. Или математич. Цели. Укажем только на системы NBG Неймана - Гёделя - Бернайса (J. Neumann - К. Godel-Р. Bernays, 1925) и NF Куайна (W. Quine, 1937). Построение системы NBG вызвано желанием иметь конечное число аксиом для теории множеств, основанной на системе ZF.
В NF реализуется стремление преодолеть расслоение понятий, имеющее место в теории типов. Системы Z, ZF, NF можно формулировать в описанном выше языке. Правила вывода, а также так наз. Логические аксиомы у этих систем совпадают и образуют прикладное исчисление предикатов 1-й ступени с равенством и оператором дескрипции. Укажем только аксиомы для равенства и оператора дескрипции. где (х) - формула, не содержащая связанной переменной у(т. Е. Не имеющая вхождений вида iy), и (у).получается из формулы (х).заменой нек-рых свободных вхождений переменной хна у. Где квантор х означает "существует одно и только одно х", а формула получается из формулы (х).заменой всех свободных вхождений переменной хна терм Квантор выразим через кванторы и равенство.
Нелогические аксиомы системы Z. Z1. Аксиома объемности А1. Z2. Аксиома пары. ("существует множество {х, у}");Z3. Аксиома суммы. ("существует множество z"). Z4. Аксиома степени. ("существует множество Pz");Z5. Аксиома выделения. ("существует подмножество z, состоящее из тех элементов х, для к-рых имеет место (х)");аксиомы Z2 -Z5 являются примерами аксиом свертывания. Z6. Аксиома бесконечности. Z7. Аксиома выбора. ("для всякого множества существует функция выбирающая из каждого непустого элемента хмножества z единственный элемент "). К этим аксиомам добавляют еще аксиому фундирования. Z8. цель к-рой - постулировать, что не существует убывающих цепей Аксиома Z8 позволяет упростить построения в Z.
Добавление этой аксиомы не вносит противоречия. В системе Z можно развивать арифметику, анализ, функциональный анализ, рассматривать кардинальные числа, меньшие Однако если определить алефы стандартным образом, то доказать в Z существование и более высоких кардиналов уже невозможно. Система ZF получается из Z добавлением аксиом подстановки Френкеля, к-рым можно придать вид аксиом свертывания. ZF9. ("существует множество у, состоящее из когда vпробегает все элементы множества z"). Иначе говоря, уполучается из z, если каждый элемент у из z заменить на Система ZF является очень сильной теорией. Все обычные математич. Теоремы формализуются в ZF. Система NBG получается из системы ZF добавлением нового типа переменных - классовых переменных X, Y, Z, .
И конечного числа аксиом образования классов, позволяющих доказать формулы вида где (х) - формула системы NBG, не содержащая связанных классовых переменных и символа i. Поскольку по каждой формуле (х).можно образовать класс, то бесконечное число аксиом ZF удается заменить конечным числом аксиом, содержащих классовую переменную. Аксиома выбора имеет вид. и утверждает существование единой для всех множеств функции выбора, являющейся классом. Система NF имеет наиболее простую аксиоматику, а именно. 1) аксиому объемности и 2) те аксиомы свертывания, в к-рых формулу Аможно стратифицировать, т. Е. Приписать всем переменным формулы Аверхние индексы таким образом, чтобы получилась формула теории типов Т, т.
Е. В подформулах вида хeуиндекс у хна единицу меньше, чем индекс у y. Система NF обладает следующими особенностями. а) выбора аксиома и обобщенная континуум-гипотеза опровержимы. б) бесконечности аксиома доказуема. в) аксиома объемности играет весьма существенную роль. Так, если аксиому объемности заменить несколько более слабой аксиомой. допускающей много пустых множеств, а аксиомы свертывания NF оставить без изменения, то получится довольно слабая теория, именно. Уже в формальной арифметике можно доказать непротиворечивость полученной системы. Ниже приведены результаты о соотношениях между описанными системами. (a) Всякая формула ZF доказуема в NBG тогда и только тогда, когда она доказуема в ZF.
// .
Дополнительный поиск Аксиоматическая Теория Множеств
На нашем сайте Вы найдете значение "Аксиоматическая Теория Множеств" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Аксиоматическая Теория Множеств, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "А". Общая длина 31 символа