Алгебраический Многочлен Наилучшего Приближения

- многочлен, наименее уклоняющийся от заданной функции. Точнее, пусть измеримая функция f(x).интегрируема с р-й степенью на - множество алгебраич. Многочленов степени не выше п. Величину наз. наилучшим приближением, а многочлен, для к-рого нижняя грань достигается, наз. Алгебраическим многочленом наилучшего приближения в . Многочлены, наименее уклоняющиеся от данной непрерывной функции в равномерной метрике, впервые встретились (1852) у П. Л. Чебышева и были исследованы им в 1856 (см. [1]). Доказательство существования А. М. Н. П. Дано Э. Борелем [2]. П. Л. Чебышев показал, что является А. М. Н. П. В равномерной метрике тогда и только тогда, когда у разности существует чебышевский алътернанс;в этом случае такой многочлен единствен.

При А. М. Н. П. Единствен в силу строгой выпуклости пространства При единственности нет, но для непрерывных функций единственность А. М. Н. П. Доказана Д. Джексоном {3]). Скорость стремления к нулю оценивается в Джексона теореме. Аналогично (*) определяется А. М. Н. П. Для большого числа тпеременных. Если число переменных m>=2, то А. М. Н. П. (в равномерной метрике), вообще говоря, не единствен. Лит.:[1] Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, т. 2, М., 1947, с. 478, с. 152-236. [2] Воrе1 Е., Logons sur les functions de variables reelles et les developpements en serie de polynomes, P., 1905. [3] Jackson D., "Amer. J. Math.", 1924, v.46. [4] Гаркави А. Л., в кн. Итоги науки. Математический анализ. 1967, М., 1969. Ю. Н. Субботин, .