Биркгофа - Виттатеорема

Пуанкаре- Биркгофа- Витта теорема,- теорема о представимости алгебр Ли в ассоциативных алгебрах. Пусть G - алгебра Ли над полем - ее универсальная обертывающая алгебра, - базис алгебры G, линейно упорядоченный нек-рым образом. Тогда всевозможные конечные произведения ba r , где образуют базис алгебры и, таким образом, канонич. Гомоморфизм. Является мономорфизмом. Из всякой ассоциативной алгебры Rможет быть построена алгебра Ли заменой операции умножения в Л на операцию коммутирования В.- В. Т. Иногда формулируют следующим образом. Для всякой алгебры Ли Gнад любым полем k существует такая ассоциативная алгебра R над этим, же полем, что Gизоморфно вкладывается в L(R). Первый вариант этой теоремы был получен А.

Пуанкаре [1]. Более полное доказательство позднее дано Э. Виттом [2] и Г. Биркгофом [3]. Утверждение теоремы остается верным, если k - область главных идеалов [4], в частности для колец Ли без операторов, но в общем случае - для алгебр Ли с произвольной областью операторов - утверждение теоремы не верно [5]. Лит.:[i] Poincare H., "Cambrige Phil. Trails.", 1900, т. 18, p. 220-5. [2] Witt E., "J. Reine und angew. Math.", 1937, Bd 177, №3, S. 152-60. [3] Birkhoff G., "Ann. Math.", 1937, v. 38, № 2, p. 526-32. [4] Lazаrd M., "Compt. Rend. Acad. Sci.", 1952, v. 234, № 8, p. 788-91. [5] Ширшов А. И., "Успехи матем. Наук", 1953, т. 8, в. 5, с. 173-5. [6] Кон П., Универсальная алгебра, пер. С англ., М., 1968. [7] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.

[8] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. С англ, и франц., М., 1969. [9] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. С англ., М., 1960. Т. С. Фофанова.