Ван Дер Поля Уравнение

нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка Является важным частным случаем Лъенара уравнения. В. Д. П. У. Описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В частности, уравнение (1) служит математич. Моделью (при ряде упрощающих предположений) лампового генератора на триоде в случае кубич. Характеристики лампы. Характер решений уравнения (1) был впервые подробно изучен Б. Ван дер Полем (см. [1]). Уравнение (1) эквивалентно системе двух уравнений относительно фазовых переменных . Иногда вместо удобнее ввести переменную тогда уравнение (1) приведется к уравнению являющемуся частным случаем Рэлея уравнения. Если вместе с переменной храссмотреть переменную ввести новое время и положить то вместо уравнения (1) получим систему (3) При любом в фазовой плоскости системы (2) существует единственный устойчивый предельный цикл, к к-рому при приближаются все остальные траектории (кроме положения равновесия в начале координат).

Этот предельный цикл адекватен автоколебаниям осциллятора Ван дер Поля (см. [2] - [4]). При малых m автоколебания осциллятора (1) близки к простым гармоническим колебаниям (см. Нелинейные колебания).с периодом 2p и с определенной амплитудой. Для вычисления колебательного процесса с большей точностью применяются асимптотич. Методы. При возрастании m автоколебания осциллятора (1) все более отклоняются от гармонич. Колебаний. При больших mуравнение (1) описывает релаксационные колебания с периодом (в первом приближении) . Известны более точные асимптотич. Разложения величин, характеризующих релаксационные колебания (см. [5]). Изучение этих колебаний равносильно исследованию решений системы (3) с малым параметром е при производной (см.

[6]). Уравнение описывает поведение осциллятора Ван дер Поля под воздействием внешнего периодич. Возмущения. Здесь наиболее важны изучение явления захватывания частоты (существования периодич. Колебаний) и исследование биении (возможности почти периодич. Колебаний. См. [2], [4]). . Лит.:[1] Vandеr Роl В., "Phil. Mag.", 1922, ser. 6, v. 43, p. 700-19. 1926, ser. 7, v. 2, p. 978-92. [2] Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959. [3] Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. С англ., М., 1961. [41 Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. С англ., 2 изд., М., 1953. [5] Дородницын А. А., "Прикл. Матем. И механика", 1947, т. 11, с. 313-28. [6] Мищенко Е. Ф., Розов Н.

X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975. Н. X. Розов..