Галуа Поле

конечное поле,- поле, число элементов к-рого конечно. Г. П. Впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 - 47). Число элементов любого Г. П. Есть степень нек-рого натурального простого числа , являющегося характеристикой этого поля. Для любого натурального простого р и любого натурального псуществует (и единственно, с точностью до изоморфизма) поле из элементов. Оно обозначается или . Поле содержит в качестве подполя поле в том и только в том случае, когда тделится на п. В частности, в любом поле содержится поле , наз. Простым полем характеристики р. Поле изоморфно полю классов вычетов кольца целых чисел по простому модулю р. В любом фиксированном алгебраическом замыкании поля существует точно одно подполе для каждого п.

Соответствие является изоморфизмом между решеткой натуральных чисел относительно делимости и решеткой конечных алгебраич. Расширений поля , лежащих в , относительно включения. Такова же решетка множества конечных алгебраич. Расширений любого Г. П., лежащих в его фиксированном алгебраич. Замыкании. Алгебраич. Расширение является простым, т. Е. Существует примитивный элемент такой, что Таким будет любой корень каждого неприводимого многочлена степени пиз кольца . Число примитивных элементов расширения равно где - Мёбиуса функция. Аддитивная группа поля естественным образом наделяется структурой n-мерного векторного пространства над . В качестве базиса можно взять . Ненулевые элементы поля образуют мультипликативную группу порядка , т.

Е. Каждый элемент из является корнем многочлена Группа циклическая, ее образующие - первообразные корни из единицы степени число К-рых равно где - Эйлера функция. Каждый первообразный корень из единицы степени является примитивным элементом расширения но не наоборот. Точнее, среди неприводимых унитарных многочленов степени пнад имеется таких, корни к-рых будут образующими для . Множество элементов поля в точности совпадает с множеством корней многочлена в , т. Е. характеризуется как подполе элементов из , инвариантных относительно автоморфизма , наз. Автоморфизмом Фробениуса. Если то расширение нормально (см. Расширение поля), его Галуа группа циклическая порядка ml п. В качестве образующей группы может быть взят автоморфизм т.

Лит.:[1] Галуа Э., Сочинения, пер. С франц., М.-Л., 1936. [2] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. С нем., М., 1976, с. 158-62. [3] Чеботарев Н. Г., основы теории Галуа, М.-Л., 1934, ч. 1, с. 154-62. [4] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. С франц., М., 1965, с. 185-203. А. И. Скопин .