Гамма-распределение

- непрерывное сосредоточенное на положительной полуоси распределение вероятностей с плотностью где - параметр, принимающий положительные значения, и - гамма-функция Эйлера Соответствующая функция распределения при равна нулю, а при выражается формулой Интеграл в правой части наз. Неполной гамма-функцией. Плотность унимодальна и при достигает максимума в точке . При плотность с ростом хмонотонно убывает, причем если неограниченно возрастает. Характеристич. Функция Г.-р. Имеет вид Моменты Г.-р. Выражаются формулой в частности, математич. Ожидание и дисперсия равны . Г.-р. Замкнуто относительно операции свертки. Г.-р. Играют не всегда явную, но значительную роль в приложениях. В частном случае получается показательная плотность.

В теории массового обслуживания Г.-р. При К, принимающем целочисленные значения, наз. Эрланга распределением. В математич. Статистике Г.-р. Часто встречаются благодаря тесной связи с нормальным распределением, т. К. Сумма квадратов взаимно независимых (0,1) нормально распределенных случайных величин имеет плотность и наз. Хи-квадрат плотностью с пстепенями свободы. Ввиду этого с Г.-р. Связаны многие важные распределения в задачах математич. Статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распределенных случайных величин (напр., Стьюдента распределение, F -распределение и z-распределение Фишера). Если X1 и Х 2 независимы и распределены с плотностями и , то случайная величина имеет плотность к-рая наз.

Плотностью бета-распределения. Плотности линейных функций от случайных величин X, подчиняющихся Г.-р., составляют специальный класс распределений - так наз. "тип III" семейства распределений К. Пирсона (К. Pear-son). Плотность Г.-р. Является весовой функцией системы ортогональных многочленов Лагерра. Значения функции Г.-р. Можно вычислить по таблицам неполной гамма-функции (см. [1]). Лит.:[1] Пагурова В. И., Таблицы неполной гамма-функции, М., 1963. А.