Двумерный Узел

- класс изотопных вложений двумерной сферы S2 в четырехмерную S4. Чисто топологич. Теория не развита, ибо еще не выяснено (1978) соотношение чистой и кусочно линейной топологии в размерности 4. Обычно накладывается условие локальной плоскостности. Метод изучения - рассмотрение сечений S'2 пучком параллельных трехмерных плоскостей. Основным является вопрос о том, будет ли узел тривиален, если его группа изоморфна Z. Известно, что в этом случае дополнение имеет гомотопич. Тип S1. 3-лентой в S4 наз. Образ D3 такой иммерсии где D3- трехмерный диск, что j| дD3 - вложение. Самопересечения j состоят из конечного числа попарно непересекающихся двумерных дисков D1,. ., Dn;прообраз j1(Di) каждого диска Di является объединением двух таких дисков D'i и D"i , что Образ края дD3 является двумерным узлом в S4.

Так получаемые узлы наз. Ленточными узлами. Это - один из наиболее изученных классов Д. У. Всякий ленточный Д. У. Является границей нек-рого трехмерного подмногообразия сферы S4, гомеоморфного либо диску D3, либо связной сумме нек-рого числа Ленточный Д. У. Тривиален тогда и только тогда, когда фундаментальная группа его дополнения изоморфна Z. Группа Gтогда и только тогда является группой некрого ленточного Д. У. В S4, когда она имеет копредставление Зиртингера, т. Е. Копредставление |x1, ..., х п. Rl , ..., r т|, где каждое соотношение имеет вид xi= wi, jxjw-1i, j, в котором число соотношений на единицу меньше числа образующих в G/[G, G]=Z. Класс групп всех Д. У. Полностью не описан. Известно, что этот класс шире класса групп k-мерных узлов в Sk+2,.

Последний класс полностью охарактеризован (см. Многомерный узел). Свойства групп Д. У., к-рыми, вообще говоря, не обладают группы трехмерных узлов в S5, таковы. где G' = [G, G]- коммутант. На конечной группе Т=Tors (G'/G" )существует такая невырожденная симметричная форма что для любых имеет место L(x, y) = L(tz,ty), где t . Т->. Т - автоморфизм, индуцированный сопряжением в группе Gна элемент то. Задача вычисления решена лишь для частных типов Д. У., напр, полученных конструкцией Артина, ленточных и расслоенных. А. В. Чернавский, М. Ш. Фарбер..