Зигеля Область

- неограниченная область в (гс+т)-мерном комплексном аффинном пространстве имеющая вид где V- открытый выпуклый конус в пространстве Rn,a F:CmXCm->Cn- отображение, являющееся V- эрмитовой формой, а именно, Fлинейно по первому аргументу, (- замыкание V), F(w, w') = 0 только при w=0. В случае, когда т=0 (и, стало быть, F=0 )область D(V, F )наз. 3. О. Первого рода и обозначается просто D(V);в случае, когда область D(V, F )наз. 3. О. Второго рода. Простейшим примером 3. О. (первого рода) является верхняя полуплоскость одного, комплексного переменного. В работе К. Зигеля [1] в связи с исследованием абелевых многообразий была рассмотрена область Н р в пространстве комплексных симметричных матриц порядка р, образованная матрицами, мнимая часть к-рых положительно определена.

Эта область, наз. Теперь верхней полуплоскостью Зигеля (и при р=1 совпадающая с обычной верхней полуплоскостью), является 3. О. Первого рода, ассоциированной с конусом положительно определенных симметричных матриц порядка р. Общее понятие 3. О. Возникло в связи с изучением автоморфных функций многих комплексных переменных (см. [5]). Впоследствии это понятие стало центральным в теории однородных ограниченных областей. Всякая 3. О. Аналитически изоморфна ограниченной области. Напр., при n=1 3. О. Изоморфна комплексному шару Всякая однородная ограниченная область изоморфна 3. О., однородной относительно аффинных преобразований. Две 3. О. Аналитически изоморфны тогда и только тогда, когда они переводятся одна в другую аффинным преобразованием (см.

[3]). Лит.:[1] Siegel С. L.,"Math. Ann.", 1939, Bd 116, S. 617- 57. [2] Зигель К., Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, пер. С англ., М., 1954. [3] Каир W., Matsushima Y., Осhiai Т., "Amer. J. Math.", 1970, v. 92, p. 475-98. [4] Murakami S., On Automorphisms of Siegel Domains, B.- Hdlb.- N.Y., 1972. [5] Итоги науки. Матем. Анализ. 1963, М., 1965, с. 81 - 124. Э. Б. Винберг..