Карта

криволинейная система координат, параметризация множества М,- взаимно однозначное отображение множества Мна открытое подмножество Dарифметического векторного пространства Rn. Число пназ. Размерностью карты, а компоненты х i (р)вектора - координатами точки относительно карты х. Примером К. Служит декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве, введенная П. Ферма (P. Fermat) и Р. Декартом (R. Descartes) и положенная ими в основу аналитич. Еометрии. К. (криволинейные координаты) на поверхности в геометрич. Исследованиях впервые использовал Л. Эйлер (L. Euler). Б. Риман (В. Riemann) положил понятие К. В основу нового инфинитезимального подхода к обоснованию геометрии (см. [1]). Согласно концепции Б. Римана, основным объектом исследования геометрии является многообразие - множество М, снабженное К.

Современное понятие многообразия является естественным обобщением определения Б. Римана. Карта х. Нек-рого подмножества Uмножества М наз. Локальной картой множества Мс областью определения U. Если множество Мснабжено структурой топологич. Пространства, то при этом дополнительно требуется, чтобы область определения Uбыла открытым подмножеством в М, а отображение хбыло бы гомеоморфизмом. Аналогично определяется К. Со значениями в Fn, где F- произвольное нормированное поле, и вообще К. Со значениями в топологическом векторном пространстве. Две локальные К. (x,U),( у, V )с областями определения U, V множества Мназ. Согласованными класса С 1, если. 1) их общая область определения изображается на каждой из них открытым множеством (т.

Е. Множества x(W)и y(W)открыты в Rn), 2) координаты точки из общей области определения Wотносительно одной из этих К. Являются lраз непрерывно дифференцируемыми функциями от координат этой же точки относительно другой К., т. Е. Вектор-функция lраз непрерывно дифференцируема. Множество А={ (х a, Ua)}попарно согласованных между собой локальных К. (х a, Ua )множества М, покрывающих все М(UaUa= М )наз. Атласом множества М. Задание атласа определяет на Мструктуру дифференцируемого многообразия, а локальные К., согласованные со всеми К. Этого атласа, наз. Допустимыми (или С'-гладкими). Инфинитезимальным аналогом понятия К. Является понятие инфинитезимальной карты порядка k(или, иначе, к-с труи карты, или корепера порядка k).

Говорят, что две согласованные между собой локальные карты ( х, U)( у, V )множества Мкасаются друг друга до порядка кв точке если х(р) = у (р)и все частные производные до порядка квключительно вектор-функции уох -1. Обращаются в точке х(р)в нуль. Класс jkp(x). Локальных К., касающихся в точке допустимой локальной К. ( х, U )многообразия М, наз. Инфинитезимальной К. Порядка кв точке р. Выбор К. Многообразия M позволяет рассматривать различные полевые величины на Мкак числовые функции и применять к ним методы анализа. Вообще говоря, значение полевой величины в точке зависит от выбора К. (Величины, не зависящие от выбора К., наз. Скалярными и описываются функциями на многообразии М. )Однако для широкого и наиболее важного класса величин (см.

Геометрических объектов теория )их значение в точке зависит только от устройства К. В инфинитезимальной окрестности k-гo порядка этой точки. Такие величины (примерами к-рых являются тензорные поля) описываются функциями на множестве всех кореперов порядка kна М. Вместе с тем изучаются такие свойства величин, к-рые не зависят от выбора К. В связи с этим весьма эффективным оказывается инвариантный бескоординатный подход к задачам дифференциальной геометрии. Лит.:[1] Риман Б., Соч., пер. С нем., М.- Л., 1948, с. 279-93. [2] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ. 3 изд., М., 1967. [3] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения. Пер. С нем., М., 1975. [4] Лихнерович А., Теория связностей в цепом и группы голономий, пер.

С франц., М., 1960. Д. В. Алексеевский..