Координаты

- числа, величины, по к-рым находится (определяется) положение какого-либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве М), например на плоскости поверхности, в пространстве, на многообразии. В ряде разделов математики и физики К. Именуются по-другому, напр. К. Элемента (вектора) векторного пространства наз. Его компонентами, К. В произведении множеств - проекции на один из его сомножителей, в теории относительности системы К.- это системы отсчета, и т. П. Часто встречается ситуация, когда ввести достаточно разумные и удобные К. Глобально на всем множестве невозможно (напр., точкам сферы в отличие от плоскости нельзя взаимно однозначно и непрерывно сопоставить пары чисел), и тогда вводят понятие локальных координат.

Таково, напр., положение в теории многообразий. Совокупность К. Организуется в систему координат (систему отнесения, систему референци и), или карту, причем К. Взаимно однозначно соответствуют элементам множества М. В этом - основа метода координат, истоками к-рого принято считать работы П. Ферма (P. Fermat, 1636) и Р. Декарта (R. Descartes, 1637). Впрочем, еще Аполлоний Пергский (3-2 вв. До н. Э.) определял ко-нич. Сечения с помощью того, что сейчас [следуя Г. Лейбницу (G. Leibniz, 1694)] называют К., хотя числовых значений они не имели. Но широта и долгота в "Географии" Птолемея (2 в. Н. Э.) были уже числовыми К. В 14 в. Н. Орем (N. Oresme) пользовался К. На плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называется абсциссой и ординатой.

Попытки обойтись без введения К. Извне, сохранить, так сказать, "чистоту" теории, себя не оправдали [напр., синтетические конструкции проективных координат, культивировавшиеся К. Штаудтом (Ch. Staudt, 1847), оказалось возможным заменить простыми алгебраич. Эквивалентами, что привело к понятию проективной геометрии над телом]. Впрочем не пропал вкус и, так сказать, к внутреннему способу введения К. (в отличие от внешнего способа привнесения К. Извне), основанному на оценке положения координируемого объекта относительно нек-рых, выбранных a priori стандартных подмножеств, напр. Линий поверхностей и т. П. (называемых в этом случае координатными линиями, поверхностями и т. П.). Это в особенности относится к множествам, в определении к-рых участвуют числа (напр., мет-рич.

И векторные пространства), т. Е. К весьма обширному и практически важному классу математич. Объектов, чем и объясняется их широкое распространение. Среди систем К. Точек (точечных К.) выделяют т. Н. Линейные координаты, в к-рых координатными линиями служат прямые. Таковы, напр., декартова прямоугольная система координат, треугольные К. (см. Тетраэдральные координаты), барицентрические координаты, проективные координаты. Системы К., для к-рых не все координатные линии прямые, наз. Криволинейными координатами. Такие К. Используются как на плоскости (напр., полярные координаты, эллиптические координаты, параболические координаты, биполярные координаты), так и на поверхностях ( геодезические координаты, изотермические координаты и др.).

Многие специальные виды систем криволинейных К. Вводятся при использовании сетей линий, отвечающих тем или иным условиям. Из них наиболее важный класс - ортогональные системы координат, в к-рых координатные линии пересекаются под прямым углом. Различные виды К. На плоскости (или на поверхности) обобщаются на случай пространства. Напр., понятие полярных К. На плоскости приводит к понятию полярных К. В пространстве ( сферических координатн цилиндрических координат);понятие биполярных К. На плоскости - к понятиям тороидальных координат, бицилиндрических координат и биполярных К. В пространстве. Понятие эллиптических К. На плоскости - к понятию эллипсоидальных координат в пространстве. Иногда потребности удобства и наглядности приводят к отступлению от равенства количества чисел, являющихся К.

Точек множества и его размерностью. По тем же причинам допускается нарушение в отдельных точках взаимной однозначности координатного отображения (таковы, напр., полярные К.). В тех случаях, когда изучаемое многообразие Мнегомеоморфно области евклидова пространства, бывает удобно использовать избыточные К., в к-рых число К. Больше размерности М. Такие К., как правило,- однородные координаты. Часто говорят о К. Прямых, плоскостей и других геометрич. Объектов, понимая под этим К. В каком-либо пространстве, точками к-рого являются прямые, плоскости и т. Д. (см., напр., Грассмана многообразие). Равноправие точек и прямых в геометрии двух измерений и равноправие точек и плоскостей в геометрии трех измерений согласно двойственности принципу позволяют ввести К., спомощью к-рых могут быть определены положения прямых и плоскостей.

Таковы, напр., тангенциальные координаты. Метод К. Стал полезным не только на пути алгоритмизации рассуждений (сведению их к вычислениям), но и для обнаружения новых фактов и связей (так, напр., непротиворечивость евклидовой геометрии посредством К. Сводится к непротиворечивости арифметики). И хотя ряд разделов математики, напр. Риманова геометрия, может быть изложен в "бескоординатном" виде, конкретные результаты чаще добываются методом К., а точнее, выбором удобных для данной задачи координатных систем (напр., выразительность ряда задач механики достигается именно в специальных К., в к-рых "разделяются" переменные). М. И. Войцеховский, А. Б. Иванов.