Лапласа Оператор

лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой (здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. О. (1) является простейшим эллиптич. Дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. О. Играет важную роль в математич. Анализе, математич. Физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма). Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой пусть - матрица, обратная к матрице Тогда Л. О. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид где - локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. О. Стандартной евклидовой метрики Обобщением оператора (3) является Л. О. На дифференциальных формах.

Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. О. Имеет вид где d - оператор внешнего дифференцирования формы, d* - формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах. где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р )-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. Е. Функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. О. В локальных координатах записывается в виде Здесь - ковариантные производные по - тензор кривизны, - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич.

Комплекс где Е р - действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г ( Е р) - пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е р эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М, можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е р. Тогда определены операторы d*, формально сопряженные к операторам d. По формуле (3) строится Л. О. На каждом пространстве Г( Е р). Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. О. Комплекса де Рама описанный выше Л. О. На формах. На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич.

Комплексы где - пространство гладких форм типа ( р, q).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М, можно построить Л. О. (4) комплекса де Рама и Л. О. Комплексов (7), (8). Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М - кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то Важным фактом, определяющим роль Л. О. Эллиптич. Комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа. В этом разложении где - Л. О. Комплекса (6), так что - пространство "гармонических" сечений расслоения Е р (в случае комплекса де Рама - это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене и пространства гармонич.

Сечений Лит. [1] Рам Ж. Д е, Дифференцируемые многообразия, пер. С франц., М., 1956. [2] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. С англ., М., 1961. [3] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. С англ., М., 1976. М. А. Шубин.