Лебега Интеграл

- одно из наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть - пространство с неотрицательной полной счетноаддитивной мерой причем Простой ф у. Н к ц и е й наз. Измеримая функция принимающая не более счетного множества значений. Простая функция gназ. Суммируемой, если ряд сходится абсолютно. Сумма этого ряда есть интеграл Лебега. Функция суммируема на если существует равномерно сходящаяся на множестве полной меры к f последовательность простых суммируемых функций gn и предел конечен. Число I есть интеграл Лебега. Определение корректно. Предел I существует и не зависит от выбора последовательности gn. Если то I - измеримая почти всюду конечная функция на X. Л. И. Есть линейный неотрицательный функционал на обладающий следующими свойствами.

В случае, когда интеграл Лебега определяется как при условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности Е п такой, что В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается. О переходе к пределу под знаком Л. И. См. Лебега теорема. Если Аесть измеримое множество X, то Л. И. определяется или, как указано выше, заменой Xна А , или как где - характеристич. Функция А;эти определения эквивалентны. Если для любого измеримого Если измеримо для каждого п, для Обратно, если при тех же условиях на А n для каждого и то и верно предыдущее равенство ( -аддитивность Л. И.). Функция множества абсолютно непрерывна относительно если то F(А).есть неотрицательная абсолютно непрерывная относительно мера.

Обратное утверждение представляет Радона - Никодима теорему. Для функций название "интеграл Лебега" применяется к соответствующему функционалу, если мера есть Лебега мера;при этом множество суммируемых функций обозначается просто L(Х).и интеграл Для других мер этот функционал наз. Лебега-Стилтьеса интегралом. Если - неубывающая абсолютно непрерывная функция, то Если -мо- нотонна на и существует точка такая, что (вторая теорема о среднем). А. Лебег дал в 1902 (см. [1]) определение интеграла для и меры являющейся мерой Лебега. Он строил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной меры Еизмеримую неотрицательную функцию и доказал существование общего предела (конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к f.

Л. И. Является базой для различных обобщений понятия интеграла. Как отметил Н. Н. Лузин [2], свойство 2) - т. Н. Абсолютная интегрируемость, выделяет Л. К. Для из всевозможных обобщенных интегралов. Лит.:[1] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. С франц., М.- Л., 1934. [2] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951. [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981. И. А. Виноградова.