Обратимый Пучок

- локально свободный пучок -модулей ранга 1 на окольцованном пространстве '. Эквивалентное определение О. П. Пучок -модулей, локально изоморфный пучку . О. П. На X, рассматриваемые с точностью до изоморфизма, образуют абелеву группу относительно операции тензорного умножения над . Эта группа наз. Пикара группой пространства Xи обозначается Pic X. Обратным к пучку. Будет в ней пучок двойственный к . В случае, когда - схема (в частности, алгебраич. Многообразие) или аналитич. Ространство, пучок -модулей обратим тогда и только тогда, когда он изоморфен пучку регулярных (соответственно аналитических) сечений нек-рого линейного алгебраического (соответственно аналитического) расслоения над X. О. П. На схемах тесно связаны с дивизорами.

Каждому дивизору Картье Dна Xсопоставляется О. П. Чем определяется инъективный гомоморфизм , где - группа классов дивизоров Картье на X. Для целых схем Xэтот гомоморфизм является изоморфизмом. На проективной схеме Xопределяется подкручивающий обратимый пучок Серра . А именно, если задано вложение схемы X в проективное пространство , то соответствует классу гиперплоского сечения. В частности, если - проективное пространство над полем к, то пучок есть прямой образ пучка линейных функций на при естественном отображении . Систему однородных координат в можно отождествить с базисом пространства сечений О. П. На схеме Xнад полем ксвязаны с рациональными отображениями схемы Xв проективные пространства. Пусть ' - О.

П. На схеме - сечения пучка , значения к-рых в любой точке порождают слой над . Тогда существует единственный морфнзм такой, что и где - однородные координаты в . О. П.на Xназ. Очень обильным, если существует такое вложение что . О. П.на Xназ. Обильным, если существует такое целое положительное п, что очень обилен. На нётеровой схеме Xнад кобратимый пучок обилен тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка , на Xсуществует такое целое n о>0, что пучок порождается при , своими глобальными сечениями. Если - обильный О. П. На X, соответствующий дивизору D, то Dназ. Обильным дивизором. Дивизор Картье Dна схеме X, собственной над алгебраически замкнутым полем к, обилен тогда и только тогда, когда для каждой замкнутой целой подсхемы индекс пересечения положителен, где r= dim Y.

По поводу других критериев обильности см. [5]. Существует также обобщение понятия обильного дивизора на подмногообразия большей коразмерности [2]. Понятия очень обильного и обильного О. П. Переносятся также на случай аналитич. Ространств (по поводу критериев обильности в этой ситуации см. Положительное расслоение). Лит.:[1] Hartshorne R., Algebraic geometry, N. Y., 1977. [2] его же, Ample subvarieties of algebraic varieties, N. Y. - В., 1970. [3] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. С англ., М., 1968. [4] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. [5] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47 -112. В. А. Псковских..