Перевала Метод

- метод вычисления асимптотики интегралов вида (*) где - большой параметр, у - контур в комплексной плоскости z, функции f(z).и S(z) голоморфны в области D, содержащей у. Нули функции S'(z) наз. Точками перевала функции S(z). Точка перевала - седловая точка поверхности U== Re S(x+y). Суть П. М. Состоит в следующем. Контур g деформируется в контур с теми же концами, лежащий в Dи такой, что достигается только в точках перевала или на концах (перевальный контур). Асимптотика интеграла (*) по перевальному контуру вычисляется с помощью Лапласа метода и равна сумме вкладов от указанных точек максимума. Вклад от точки z0 - это интеграл вида (*), взятый по малой дуге контура , содержащей точку z0. Если z0 - внутренняя точка контура - точка перевала и , то Перевальный контур обладает минимаксным свойством.

На нем достигается где минимум берется по всем контурам , лежащим в Dи имеющим те же концы, что и g. Основная трудность при применении П. М.- отбор точек перевала, т. Е. Выбор перевального контура , отвечающего g. П. М. Восходит к П. Дебаю [1]. Идеи этого метода были высказаны ранее Б. Риманом (см. [2]). Вычисление вкладов от точек перевала и от концов контура см. В [3] - [9]. П. М.- по существу единственный метод, позволяющий вычислять асимптотику интегралов вида (*). С его помощью вычислены асимптотики преобразований Лапласа, Фурье, Меллина, экспоненты от полинома, многих специальных функций. Пусть - ограниченное многообразие с краем размерности пи класса , функции f(z), S(z).голоморфны в нек-рой области D, содержащей g, и dz=.

Пусть достигается только в одной точке z0, к-рая является внутренней точкой g и невырожденной точкой перевала функции S(z), т. Е. . Тогда вклад от z0 равен Лит.:[1] Dеbуе P., "Math. Ann.", 1909, Bd 67, S. 535-58. [2] Риман Б., Сочинения, пер. С нем., М.- Л., 1948. [3] Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. С англ., М., 1962. [4] Брейн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. С англ., М., 1961. [5] Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962. [6] Копсон Э.-Т., Асимптотические разложения, пер. С англ., М., 1966. [7] Оlvеr F. W. J., Asymptotics and special functions, N. Y. - [a. O.], 1974. [8] Риекстыньш Э. Я., Асимптотические разложения интегралов, т. 1-2, Рига, 1974-77. [9] Федорюк М. В., Метод перевала, М., 1977.

М. В. Федорюк.