Плоскость

- одно из основных понятий геометрии. Обычно косвенным образом определяется аксиомами геометрии. П. Может рассматриваться как совокупность двух непересекающихся множеств - множества точек и множества прямых с симметричным отношением инцидентности, связывающим точку и прямую. В зависимости от требований, к-рым удовлетворяет отношение инцидентности, описываемое определенными аксиомами, различают проективные, аффинные, гиперболические, эллиптические П. И др. П. Можно классифицировать по группам коллинеаций (см., напр., [7] гл. 3, где дана классификация Ленца - Бартолоцци проективных и аффинных П.) или по реализации в плоскости тех или иных конфигураций (см., напр., Дезаргова геометрия, Паскалева геометрия). П.

Наз. Метрической, если кроме отношения инцидентности определено расстояние между любой парой точек. Так, в Гильберта системе аксиом евклидовой геометрии расстояние вводится на базе аксиом конгруэнтности и непрерывности, и П. В этом случае наз. Непрерывной (см. [1]). В случае невыполнения для П. Аксиом непрерывности П. Наз. Дискретной (см., напр., Неархимедова геометрия), а П., состоящая из конечного числа точек, а следовательно, и прямых, наз. Конечной (см. [7]). Одним из путей изучения П. Является введение в ней координат и тернарной операции с последующим ее изучением (см., напр., [7]), [8]). В системе аксиом Вейля пространства Е 3 П. Является производным понятием от понятий "вектор" и "точка". Под П., проходящей через точку и векторы m и n, понимается множество точек таких, что В прямоугольной системе координат ( х, у, z).пространства Е 3 П.

Задается линейным уравнением коэффициенты А, В, С определяют координаты нормального вектора этой П. В m-мерном пространстве re-мерные П. Описываются системами линейных уравнений (см. [5]). Взаимное расположение П. В различных m-мерных пространствах определяется соответствующими аксиомами инцидентности так же, как и свойства инцидентности плоскостей и прямых. Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. С нем., М.- Л., 1948. [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978. [3] Об основаниях геометрии, М., 1956. [4] Бахман Ф., Построение геометрии на основе понятия симметрии, пер. С нем., М., 1969. [5] Донеддю А., Евклидова планиметрия, пер. С франц., М., 1978. [6] Розенфельд Б. А., Многомерные пространства, М., 1966.

[7] Dеmbоwski P., Finite geometries, В., 1968. [8] Pikеrt G., Projektive Ebenen, В., 1955. В. В. Афанасьев, Л. А. Сидоров.