Подмногообразие

- 1) В узком смысле слова топологическое n-мерное П. Топологического m-мерного многообразия М - такое подмножество , к-рое в индуцированной топологии является n-мерным многообразием. Число m - nназ. Коразмерностью подмногообразия N. Наиболее часто встречаются локально плоские П., для к-рых тождественное вложение является локально плоским вложением. Подмножество является локально плоским П., если для каждой точки имеются такая окрестность Uэтой точки в Ми такие локальные координаты x1,. ., xm в ней, что в терминах этих координат описывается уравнениями xn+1=...=xm=0. 2) В широком смысле слова топологическое n-мерное П. Топологического m-мерного многообразия М - такое n-мерное многообразие N, к-рое как множество точек является подмножеством М(иными словами, N - это подмножество М, снабженное структурой п- мерного многообразия) и для.

К-рого тождественное вложение является погружением. П. В узком смысле является П. В широком смысле, а последнее является П. В узком смысле тогда и только тогда, когда iесть вложение в топологич. Смысле (т. Е. У каждой точки имеется сколь угодно малые окрестности в N, являющиеся пересечениями с N нек-рых окрестностей в М). 3) Кусочно линейное, аналитическое или дифференцируемое (класса ) П. Кусочно линейного, аналитического или дифференцируемого (класса ) многообразия Мв широком смысле (соответственно узком) - это подмножество , к-рое снабжено структурой кусочно линейного, аналитического или дифференцируемого (класса С l).многообразия, причем iявляется кусочно линейным, аналитическим или дифференцируемым (класса С l).погружением (соответственно вложением).

Определение дифференцируемого П. Класса С l годится и при l=0, совпадая в этом случае с определением топологического П. Обычно подразумевается, что . В аналитическом и дифференцируемом случаях П. Всегда является локально плоским. Поэтому определение аналитического (дифференцируемого) П. В узком смысле обычно с самого начала формулируется как аналитический (дифференцируемый) вариант данного в 1) определении локально плоского П. С помощью локальных координат, добавляя к сказанному там условию, чтобы локальные координаты x1, . ., х т были аналитическими (дифференцируемыми класса С l). Если подмножество Nудовлетворяет последнему определению, то оно естественным образом снабжается структурой аналитического (дифференцируемого класса С l).многообразия и iоказывается вложением в смысле соответствующей структуры.

Кусочно линейное П. В узком смысле локально представляется как подполиэдр объемлющего многообразия, кусочно линейно эквивалентный симплексу. Оно не всегда является локально плоским (хотя это так при т - n>2). Кроме того, для таких П. Свойство быть локально плоским в топологич. Смысле не совпадает (по крайней мере непосредственно) со свойством быть локально плоским в кусочно линейном смысле. 4) Простой модификацией этих определений получаются определения. П. С краем. П. Многообразия с краем (при этом в ряде топологич. Вопросов оказывается целесообразным ограничить возможные расположения П. У края объемлющего многообразия, см. [1]). П., различные компоненты к-рого могут иметь различную размерность. П. Бесконечномерного многообразия [2].

Комплексно аналитического П. Комплексно аналитического многообразия. Понятие П. В узком смысле является непосредственным обобщением понятия кривой и поверхности. П. В широком смысле используются в теории групп Ли (где это понятие и было впервые введено [3]), дифференциальной геометрии [4] и теории слоений. 5) В алгебраической геометрии П.- замкнутое подмножество алгебраич. Многообразия в Зариского топологии. Этим формализуется идея, что П. Задается алгебраич. Уравнениями. Помимо перехода от R к другим полям, изменение понятия П. В этом случае состоит в том, что допускаются П. С особенностями. Лит.:[1] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977. [2] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер.

С англ., М., 1967. [3] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. С англ., т. 1, М., 1948. [4] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. С англ., М., 1970. Д. В. Аносов.