Продолжений И Охватов Метод

метод исследования различных дифференциально-геометрич. Структур на гладких многообразиях и их подмногообразиях. В основе П. И о. М. Лежат дифференциалъно-алгебраич. Критерии операций, позволяющих в инвариантной (безкоординатной) форме присоединять к данной структуре внутренне связанные с ней структуры, в том числе и их дифференциальные инварианты. Исторически П. И о. М. Возник вслед за методом подвижного репера как инвариантный метод исследования подмногообразий однородных пространств или пространств со связностью. Впоследствии П. И о. М. Был распространен на геометрию произвольных расслоенных пространств. В отличие от главной цели метода подвижного репера - построения канонич. Поля реперов и дифференциальных инвариантов изучаемой структуры путем последовательного сужения соответствующих главных расслоенных пространств, П.

И о. М. Ставит целью построение инвариантов и инвариантно присоединяемых структур без сужения главных расслоений реперов. В необходимых случаях П. И о. М. Включает и процесс канонизации репера. Пусть G- группа Ли и К(G).- класс всех G-пpoстранств с левосторонним действием группы Ли Gна них как группы преобразований. G-oхватом наз. Такое гладкое сюръективное отображение что для любого коммутативна диаграмма где lg и - преобразования G-пространств Хи Yсоответственно, определяемые элементом g. В этом случае говорят, что пространство Yс помощью f охвачено пространством Xили пространство Xявляется продолжением пространства Y. Класс К(G).становится категорией с морфизмами - G-охватами. Примеры G-охватов. 1) Пусть - пространство тензоров типа .

Охватом является отображение свертки Полная свертка тензоров пространства Т( р, р) является примером охвата инварианта. 2) Если , то XX Yс помощью prX и рrY охватывает Xи Yсоответственно. Иными словами, XX Yявляется продолжением как X, так и Y. Понятие охвата естественным образом распространяется на классы расслоенных пространств, присоединенных к главным расслоениям. Пусть p . Р( М, Н) М - главное расслоенное пространство со структурной группой Н, действующей на Рправым образом, и - любое левое H-пространство. Объектами класса К(Р).присоединенных к Ррасслоенных пространств являются пространства типа где факторизация подразумевается по следующему правому действию группы Нна PX F. Пространство является расслоенным над базой Мпространством с типовым слоем F.

Элемент , определяемый парой , записывают в виде . Если и - отображение H-охвата, то в силу конструкций F(P).и Ф(Р) f индуцирует послойное сюръективное отображение , называемое Р- охватом. Р- охват f определяется по закону. Таким образом, класс К(Р).присоединенных к Ррасслоенных пространств является категорией с морфизмами типа Р-охватов . Соответствие является биективным функтором категории К(Н).на категорию К(Р). Следовательно, достаточно изучать операции охвата в категориях H-пространства. Если - сечение расслоенного пространства F(P).(поле геометрического объекта типа F), то Р-охват присоединяет к сечению s сечение охваченного расслоения Ф(Р). Иными словами, поле геометрич. Объекта , охватывает поле геометрич.

Объекта . Если s(x) - структурный объект нек-рой G-структуры, то изучение G-структуры и ее инвариантов сводится во многом к отысканию охватываемых геометрич. Объектов. В процессе отыскания охватываемых геометрич. Объектов важную роль играют дифференциальные критерии охватов, формулируемые в терминах структурных дифференциальных форм расслоенных пространств и составляющие основу П. И о. М. Лит.:[1] Лаптев Г. Ф., "Тр. Моск. Матем. Об-ва", 1953, т. 2, с. 275-382. [2] его же, в кн. Тр. Третьего Всесоюзного матем. Съезда. Москва, 1956, т. 3, М., 1958, с. 409-18. Л. Е. Евтушик.