Разложимая Группа

над полем k, расщепи мая группа над k, k-pазложимая группа,- линейная алгебраич. Группа, определенная над kи содержащая разложимую над k Бореля подгруппу. При этом связная разрешимая линейная алгебраич. Группа Вназ. Разложимой над А, если она определена над kи обладает таким композиционным рядом , что все В i - связные, определенные над kалгебраич. Подгруппы, а каждая из факторгрупп изоморфна над kлибо одномерному тору Gm=GL1. Либо аддитивной одномерной группе Ga. В частности, алгебраический тор тогда и только тогда разложим над k, когда он определен над k и изоморфен над kпрямому произведению нескольких экземпляров группы Gm. Для связных разрешимых k-разложимых групп справедлива Бореля теорема о неподвижной точке.

Определенная над kредуктивная линейная алгебраич. Группа тогда и только тогда разложима над k, когда она обладает разложимым над kмаксимальным тором, т. Е. Когда ее k-ранг совпадает с ее рангом (см. Ранг алгебраической группы). Образ k-разложимой группы при любом определенном над kрациональном гомоморфизме является k-разложимой группой. Всякая определенная над kлинейная алгебраич. Группа Gразложима над алгебраич. Замыканием поля k;если, кроме того, группа Gредуктивна или разрешима и связна, то она разложима над нек-рым конечным расширением поля k. Если поле kсовершенно, то связная разрешимая определенная над kлинейная алгебраич. Группа тогда и только тогда разложима над k, когда она приводится над kк треугольному виду.

Если char k=0, то определенная над kлинейная алгебраич. Группа тогда и только тогда разложима над k, когда ее алгебра Ли L является разложимой (или расщепляемой) над kалгеброй Ли. Последнее, по определению, означает, что алгебра Ли Lобладает расщепляющей подалгеброй. К а р т а н а, т. Е. Такой Картана подалгеброй, что все собственные значения каждого оператора adLh, , принадлежат полю k. Если - вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой -разложимой алгебраич. Группы G, a- комплексификация группы Ли , то наз. Нормальной вещественной формой комплексной группы Ли Существуют квазиразложимые группы над полем k, не являющиеся Р. Г. Над k;примером при может служить группа SO(3,1).

Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [2] Б о р е л ь А., Т и т с Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111. [3] М е р з л я к о в Ю. И., Рациональные группы, М., 1980. [4] Х а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1980. В. Л. Попов.