Структура

1) С., математическая структура,- родовое название, объединяющее понятия, общей чертой к-рых является то, что они применимы к множествам, природа элементов к-рых но определена. Чтобы определить С., задают отношения, в к-рых находятся элементы множества (типовая характеристика С.), затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют условиям - аксиомам С. Лит.:[1] Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. С франц., М., 1963. [2] его же, Теория множеств, пер. С франц., М., 1965. М. И. Войцеховский. 2) С.- то же, что решетка. 3) С. На многообразии, геометрическая величина, поле геометрических объектов,- сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением коронеров многообразия М. Интуитивно геометрич. Величину можно рассматривать как величину, значение к-рой зависит не только от точки хмногообразия М, но и от выбора ко репера - инфинитезимальной системы координат в точке х(см.

Карта). Более подробно, пусть GLk(n) - общая дифференциальная группа порядка k(группа k-струй в нуле преобразований пространства сохраняющих начало координат), Mk- многообразие кореперов порядка k n -мерного многообразия М(т. Е. Многообразие k-струй локальных карт с началом в точке х=и-1(0)).Группа GLk(n)действует слева на многообразии Mk по формуле и это действие определяет в М k структуру главного GLk(n)-расслоения называемого расслоением кореперов порядка k. Пусть W - произвольное GLk(n)-многообразие, т. Е. Многообразие с левым действием группы GLk(n). Пусть, наконец, W(M)- пространство орбит левого действия группы GLk(n)в а - его естественная проекция на М. Расслоение (ассоциированное с Mk и W )наз.

Расслоением геометрических структур порядка и типа W, а его сечения - структурами типа W. С. Типа . Находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с GLk(n)-эквивариантными отображениями Таким образом, С. Типа Wможно рассматривать как W-значную функцию Sна многообразии Mk k -реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности. Расслоение геометрич. Объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия Мдействует как группа автоморфизмов Если Wесть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы GLk(n). То С. Типа Wназ. Линейными (соответственно аффинными). Основными примерами линейных С. 1-го порядка являются тензорные С., или тензорные поля.

Пусть и - пространство тензоров типа ( р, q )с естественным тензорным представлением группы GLl(n) - GL(n). С. Типа наз. Тензорным полем типа ( р, q). Ее можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов М 1, сопоставляющую кореперу набор координат тензора относительно стандартного базиса пространства При линейном преобразовании корепера координаты преобразуются по тензорному представлению. Важнейшим примером тензорных С. Являются векторное поле, дифференциальная, форма, риманова метрика, симплектическая структура, комплексная структура и, более общо, аффинор. Все линейные С. (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского [4]. Примером аффинной С. 2-го порядка служит аффинная связность без кручения, к-рую можно рассматривать как С.

Типа , где - ядро естественного гомоморфизма рассматриваемое как векторное пространство с естественным действием группы Широким и важным классом С. Является класс инфинитезимально однородных структур, или G-структур, - структур типа W, где W=GLk(n)/G- однородное пространство группы GLk(n). Приведенное выше определение С. Оказывается недостаточно общим и не охватывает ряд важных геометрич. С. - спинорную С., симплектическую спинорную С. И др. Естественное обобщение состоит в рассмотрении обобщенных G-структур - главных расслоений, гомоморфно отображающих на G-структуру, и сечений ассоциированных с ними расслоений. Лит.:[1] Рашевский П., лТр. Сем. По вект. И тенз. Анализу....