Сумматорная Функция

функции f - функция обозначающая сумму значений f(n) на множестве натуральных чисел С. Ф. Являются одним из основных средств выражения разнообразных свойств числовых последовательностей. Примеры С. Ф. Число простых чисел - Чебышева функция, число делителей всех и т. П. (см. [1], [2]). Основная задача состоит в том, чтобы найти возможно более точное асимптотич. Выражение С. Ф., а для С. Ф., не имеющей асимптотики, наилучшую оценку ее модуля для больших значений х. В основе аналитич. Методов изучения С. Ф. Лежат Коши интегральная теорема и Дирихле ряды вида Если такой ряд абсолютно сходится при то для нецелого справедливо тождество из к-рого, имея аналитич. Родолжение F(s)переносом Пути интегрирования влево на нек-рое Re за счет оценок интеграла по новому контуру, получается соответствующая оценка для С.

Ф. F. В случае напр., интегрирование можно перенести на что дает формулу Римана - Мангольдтa для Из общих применений метода известна следующая теорема. Предположения. F(п), l п - комплексные числа, - действительные числа, - положительные числа, и v - целые числа Г - гамма-функция, 1) Для любого 2) Определенная для функция мероморфна во всей плоскости и имеет конечное число полюсов в полосе 3) Ряд абсолютно сходится при 4) Для 5) 6) Если положить то Для фиксированной полосы найдется постоянная такая, что и больших |t| имеет место оценка Заключение. Для любого имеют где R(х) - сумма вычетов функции для всех ее полюсов в полосе Лит.:[1] Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер.

С англ., М., 1953. [2] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. С нем., М., 1964. А. Ф. Лаврик.