Условное Математическое Ожидание

случайной величины-функция элементарного события, характеризующая случайную величину по отношению к нек-рой -алгебре. Пусть -вероятностное пространство, Х - заданная на нем случайная величина с конечным математич. Ожиданием, есть -алгебра, У. М. О. Случайной величины Xотносительно -алгебры наз. Случайная величина измеримая относительно -алгебры и такая, что для каждого Если математич. Ожидание случайной величины Xбесконечно (но определено), т. Е. Конечна только одна из величин и то определение У. М. О. Посредством (*) имеет смысл, но может принимать бесконечные значения. У. М. О. Определяется однозначно с точностью до эквивалентности. В отличие от математического ожидания, являющегося числом, У. М. О. Представляет собой функцию (случайную величину).

Свойства У. М. О. Аналогичны свойствам математич. Ожидания. 1) если почти наверное 2) для любого действительного с. 3) для любых действительных и 4) 5) для выпуклых функций g(x). Кроме того, имеют место следующие специфические для У. М. О. Свойства. 6) если -тривиальная -алгебра, то 7) 8) 9) если Xне зависит от -алгебры то 10) если Yизмерима относительно -алгебры то Имеет место теорема о сходимости под знаком У. М. О. Если X1, Х2, . - последовательность случайных величин, п=1, 2, . и почти наверное, то почти наверное У. М. О. Случайной величины Xотносительно случайной величины Yопределяется как У. М. О. Xотносительно -алгебры, порожденной У. Частным случаем У. М. О. Является условная вероятность. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974.

[2] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973. [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. С франц., М., 1969. [4] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. С англ., М., 1962. Н. Г. Ушаков.