Устойчивость

в теории игр - принцип оптимальности, отражающий прямо или косвенно идею устойчивости ситуации (или множества ситуаций). Выделяют следующие основные концепции У. 1. -устойчивость - см. Коалиционная игра. 2. -устойчивость - принцип оптимальности в кооперативных играх, связанный с понятием У. Пары, состоящей из разбиения множества игроков Iна коалиции и дележа относительно образования новых коалиций. Разбиение множества игроков I наз. Коалиционной структурой. Пусть <I, r> - кооперативная игра и -функция, сопоставляющая всякой коалиционной структуре множество коалиций Пара где х- дележ, наз. -устойчивой, если для всех и когда 3. K-yстойчивость-частный случай -устойчивости, когда в качестве берется множество коалиций, каждая из к-рых отличается от какою-либо элемента не более чем на kигроков.

4. М-устойчивость - принцип оптимальности в теории кооперативных игр, формализующий интуитивное понимание У. Образования коалиций и дележей значений v(Т)характеристич. Функции vна образующихся коалициях Тмежду игроками из Тотносительно возможных угроз одних коалиций против других. Пара -вектор, удовлетворяющий условиям - коалиционная структура, наз. Конфигурацией. Конфигурация наз. Индивидуально рациональной (и. Р. К.), если Конфигурация наз. Коалиционно рациональной (к. Р. К.), если вектор худовлетворяет условию для любой коалиции k =1, ..., т. В случае, когда в частности когда для всякой и. Р. К. вектор хявляется дележом. Множество наз. Множеством партнеров коалиции в коалиционной структуре Пусть -к. Р. К. И -непересекающиеся коалиции.

К. Р. К. (y, U), удовлетворяющая условиям yi > xi для всех для всех наз. Угрозой коалиции Кпротив L. Контругрозой коалиции . Против Кназ. К. Р. К. (z, V), удовлетворяющая условиям для всех для всех К. Р. К. Наз. M-устойчивой, если для любой пары непересекающихся коалиций К, L навсякую угрозу Кпротив L существует контругроза Lпротив К. Множество всех М-устойчивых конфигураций для коалиционной структуры наз. М-устойчивым множеством и обозначается через М или В случае, когда множество Мсодержит с- ядро (см. Ядро в теории игр) кооперативной игры <I, v>. Множество Мчасто оказывается пустым, и поэтому чаще рассматривают множество к-рое определяется аналогично Мсо следующими изменениями. Рассматриваются не только к. Р. К., но и все и.

Р. К. И допускаются лишь угрозы и контругрозы между одноэлементными коалициями, т. Е. Между отдельными игроками. Было показано, что множество не пусто для любой коалиционной структуры. Множество для содержит k- ядро и совпадает с ним и с-ядром для выпуклых игр<I, v>. Понятия М- устойчивости и -устойчивости, имеют естественное обобщение на кооперативные игры без побочных платежей. Известно, что в этом случае множество может быть пустым. Имеются нек-рые условия для непустоты Лит.:[1] Aumann R. J., Мasсhlеr М,, в сб. Advances in game theory, Princeton, 1964, p. 443-76. [2] Воробьев Н. Н., лУспехи матем. Наук.