Эйлера Метод

- простейший конечно-разностный метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием y(x0) = y0. Выбирается достаточно малый шаг hпо оси х, строятся точки x;=x0+ih, i=0, 1, 2, . , и искомая интегральная кривая у(х)заменяется ломаной (ломаная Эйлера), звенья к-poй прямолинейны на отрезках [ х i, xi+1], а ординаты определяются по формулам Если правая часть f(x, у )уравнения (1) непрерывна, то последовательность ломаных Эйлера при на достаточно малом отрезке равномерно стремится к искомой интегральной кривой у(х). Э. М. Заключается в том, что интеграл дифференциального уравнения (1) на каждом последовательном отрезке [ х i, xi+1]представляется двумя членами ряда Тейлора На каждом шаге Э.

М. Имеет погрешность порядка h2. Для уточнения Э. М. Используются различные модификации. Напр., в усовершенствованном методе ломаных вместо формулы (2) для определения ординат используют формулу где то есть учитывают направление поля интегральных кривых в средней точке (4) звена ломаной. Другой модификацией Э. М. Является усовершенствованный метод Эйлера - Коши. где Последний метод можно еще более уточнить, применив итерационную обработку каждого значения yi+1. где нулевое приближение Итерационный расчет по формуле (б) продолжают до тех пор, пока два последовательных приближения не совпадут между собой в заданном числе десятичных знаков. Если после трех - четырех итераций совпадение требуемого числа десятичных знаков не достигается, то это указывает на необходимость уменьшения шага h.

Э. М. С итерационной обработкой ординат дает на каждом шаге погрешность порядка h3. Э. М. И его модификации переносятся на более общий случай решения системы и обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях Алгоритм вычислений по Э. М. Легко программируется и удобен для реализации на ЭВМ. Метод предложен Л. Эйлером (L. Euler, 1768). Лит.:[1] Демидович Б. П., Марон И. А., Основы вычислительной математики, М., 1960. И. Б. Вапнярский.