Алгебра Буля

— исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические мето­ды для решения логических задач и сформулировал на языке ал­гебры некоторые фундаментальные законы мышления. Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. Являются. Сложение классов AÈ.B. Умножение классов АÇВ. Дополнение класса А'. Свойства этих операций описываются следующими ак­сиомами. La. AÈ(BÈC)=(AÈB) ÈC — ассоциативность сложения. 16. AÇ(BÇC)= (AÇВ) ÈC — ассоциативность умножения. 2a.AÈB= BÈA — коммуникативность сложения.

2б.АÇВ =ВÇА — коммуникативность умножения. 3a.AÈ(ВÇС)= =(AÈB) Ç(AÈC) — дистрибутивность сложения относительно умножения. 36.AÇ(BÈC)==(AÇB) È(AÇC) — дистрибутивность умножения относительно сложения. В А. Б. Существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми подчиняются следующим соотношениям. AÈ0=A. AÇ1=A. AÈA'=1. AÇA'=0. Характерная особенность А.Б. Заключается в том, что в ней от­сутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А  . Равна А. АÈА=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A. АÇА=А, а не A2. Важным законом А. Б. Является принцип двойственно­сти, согласно которому если в некотором справедливом равен­стве мы заменим все вхождения È.

На Ç. И Ç. На È, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедли­вое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы. А.Б. Широко применяется при проектировании и проверке элек­трических схем, в которых используются реле, работающие по прин­ципу «да - нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современ­ной математической логике этот раздел значительно усовершен­ствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказы­ваний и т. П. В области традиционной логики соотношения А. Б. Часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий..