Эллиптические функции

функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы). Э. Ф. Применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов. Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода где z = sin φω, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции. Φ = am z — амплитуда z (эта функция не является Э. Ф.) и ω = sn z = sin (am z) — синус амплитуды. Функции cn — косинус амплитуды и dn z — дельта амплитуды определяются формулами Функции sn z, cn z, dn z называют Э. Ф. Якоби. Они связаны соотношением sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1.

На рис. Представлен вид графиков Э. Ф. Якоби. Они связаны соотношением sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1 На рис. Представлен вид графиков Э. Ф. Якоби для действительного x и 0 < k < 1. А — полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K — основной период Э. Ф. Sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z — двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где и — дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. Ф. Якоби приведены в таблице, где m и n — любые целые числа. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | Функции | Периоды | Нули | Полюсы | |----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| | sn z | 4Km + 2iK'n | 2mK + 2iK'n |  | |-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| }2mK + (2n + 1) iK' | | cn z | 4K + (2K + 2iK') n  | (2m + 1) K + 2iK'n | | |-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|  | | dn z | 2Km + 4iK'n | (2m + 1) K + (2n + 1) iK | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Э.

Ф. Вейерштрасса ℙ(х) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода где параметры g2 и g2 — называются инвариантами ℙ(x). При этом предполагается, что нули e1, e2 и e3 многочлена 4t3 — g2t — g3 различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. Ф. Вейерштрасса ℙ(х) связана с Э. Ф. Якоби следующими соотношениями.