Галуа теория

созданная Э. Галуа теория алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным, т. Е. Уравнений вида устанавливает условия сводимости решения таких уравнений к решению цепи др. Алгебраических уравнений (обычно более низких степеней). Т. К. Решением двучленного уравнения xm = А является радикал , то уравнение (*) решается в радикалах, если его можно свести к цепи двучленных уравнений. Все уравнения 2-й, 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах. Уравнение 2-й степени x2 + px + q = 0 было решено в глубокой древности по общеизвестной формуле уравнения 3-й и 4-й степеней были решены в 16 в. Для уравнения 3-й степени вида x3 + px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) решение даётся т.

Н. Формулой Кардано. опубликованной Дж. Кардано в 1545, хотя вопрос о том, найдена ли она им самим или же заимствована у др. Математиков, нельзя считать вполне решенным. Метод решения в радикалах уравнений 4-й степени был указан Л. Феррари. В течение трёх последующих столетий математики пытались найти аналогичные формулы для уравнений 5-й и высших степеней. Наиболее упорно над этим работали Э. Безу и Ж. Лагранж. Последний рассматривал особые линейные комбинации корней (т. Н резольвенты Лагранжа), а также изучал вопрос о том, каким уравнениям удовлетворяют рациональные функции от корней уравнения (*). В 1801 К. Гаусс создал полную теорию решения в радикалах двучленного уравнения вида xn = 1, в которой свёл решение такого уравнения к решению цепи двучленных же уравнений низших степеней и дал условия, необходимые и достаточные для того, чтобы уравнение xn = 1 решалось в квадратных радикалах.

С точки зрения геометрии, последняя задача заключалась в отыскании правильных n-угольников, которые можно построить при помощи циркуля и линейки. Поэтому уравнение xn = 1 и называется уравнением деления круга. Наконец, в 1824 Н. Абель показал, что общее уравнение 5-й степени (и тем более общие уравнения высших степеней) не решается в радикалах. С другой стороны, Абель дал решение в радикалах одного общего класса уравнений, содержащего уравнения произвольно высоких степеней, т. Н. Абелевых уравнений. Т. О., когда Галуа начал свои исследования, в теории алгебраических уравнений было сделано уже много, но общей теории, охватывающей все возможные уравнения вида (*), ещё не было создано. Например, оставалось. 1) установить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять уравнение (*) для того, чтобы оно решалось в радикалах.

2) узнать вообще, к цепи каких более простых уравнений, хотя бы и не двучленных, может быть сведено решение заданного уравнения (*) и, в частности, 3) выяснить, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение (*) сводилось к цепи квадратных уравнений (т. Е. Чтобы корни уравнения можно было построить геометрически с помощью циркуля и линейки). Все эти вопросы Галуа решил в своём «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах», найденном в его бумагах после смерти и впервые опубликованном Ж. Лиувиллем (См. Лиувилль) в 1846. Для решения этих вопросов Галуа исследовал глубокие связи между свойствами уравнений и групп (См. Группа) подстановок, введя ряд фундаментальных понятий теории групп.

Своё условие разрешимости уравнения (*) в радикалах Галуа формулировал в терминах теории групп. Г. Т. После Галуа развивалась и обобщалась во многих направлениях. В современном понимании Г. Т. — теория, изучающая те или иные математические объекты на основе их групп автоморфизмов (так, например, возможны Г. Т. Полей, Г. Т. Колец, Г. Т. Топологических пространств и т. П.). Лит. Галуа Э., Сочинения, пер. С франц., М. — Л., 1936. Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, т. 1—2, М. — Л.,1934—37. Постников М. М., Теория Галуа, М., 1963..