Интерполяционные формулы

формулы, дающие приближённое выражение функции у = f (x) при помощи интерполяции (См. Интерполяция), т. Е. Через интерполяционный многочлен Рn(х) степени n, значения которого в заданных точках x0, x1, ..., хn совпадают со значениями y0, y1, ..., уn функции f в этих точках. Многочлен Рn(х) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами. 1. Интерполяционная формула Лагранжа. Ошибка, совершенная при замене функции f (x) выражением Pn(x), не превышает по абсолютной величине где М — максимум абсолютной величины (n + 1)-й производной f n+1(x) функции f (x) на отрезке [x0, xn]. 2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x0, x1, ..., xn расположены на равных расстояниях (xk = x0 + kh), многочлен Pn(x) можно записать так.

(здесь x0 + th = х, а Δk — разности k-го порядка. Δk yi = Δk — 1 yi +1 — Δk — 1yi). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x0. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к x0. При интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу хn, употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x, близких к xk, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. Ниже формулы Стирлинга и Бесселя). Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см.

Конечных разностей исчисление). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона). 3. Интерполяционная формула Стирлинга. (о значении символа μ и связи центральных разностей δm с разностями Δm см. Ст. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений х, близких к одному из средних узлов а. В этом случае естественно взять нечётное число узлов х—k, ..., х—1, x0, x1, ..., xn, считая а центральным узлом x0. 4. Интерполяционная формула Бесселя. применяется при интерполировании функций для значений х, близких середине а между двумя узлами.

Здесь естественно брать чётное число узлов х—k, ..., х—1, x0, x1,..., xk, xk + 1, и располагать их симметрично относительно a (x0 < а < x1). Лит. См. При ст. Интерполяция. В. Н. Битюцков.