Линия
IЛи́ния (от лат. Linea) геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каждый вид кривых Л. Определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О — центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. Как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.
2) Представление о Л. Как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями x = R cos t, y = R sin t. Когда параметр t пробегает отрезок 0 ≤ t ≤ 2π, точка (х, у) описывает окружность. Вообще, Л. На плоскости задают параметрическими уравнениями вида x = φ (t), у = ψ(t), где φ (t), ψ(t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале Δ числовой оси t. С каждым значением параметра t (из интервала Δ) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями.
Л., заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из Δ, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно. Если точка M1 соответствует значению параметра t1, а точка M2 — значению t2, то M1 считается предшествующей M2, если t1 < t2 При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными. Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. Задаётся параметрически тремя уравнениями вида x = φ (t), у = ψ(t), z = χ (t), где φ (t), ψ(t), χ (t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве (См. Топологическое пространство) Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т.
П.) Л. Параметрически задают уравнением вида P = φ (t), где φ — функция действительного переменного t, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше). В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а ≤ t ≤ b. В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления Р = φ (t), a ≤ t ≤ b P = φ1(t1), a1 ≤ t1 ≤ b1, изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции t1 = f(t), для которой f(a) = a1, f(b) = b1, φ (t) = φ1[f(t)].
Такое понимание термина «Л.» наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. Здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. Через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. Может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра). Например, при изменении t в пределах — ∞ < t < ∞ точка с координатами 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего ε, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см.
Также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. В смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. В смысле Урысона называют «канторовыми кривыми». Л. Н. Колмогоров. 6) Ещё математики древности изучали Линии второго порядка (Эллипс, гиперболу (См. Гипербола) и параболу (См. Парабола)). Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. Более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематическое изучение Л. И их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р.
Декарт). Из Л. Третьего порядка наиболее известны. Декартов лист (см. Рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 1). Уравнение в прямоугольных координатах. X3 + y3 — 3аху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( —а, 0) и (0, —а), была определена позднее (1692) Х. Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» установилось в начале 18 в. Локон Аньези (см. Рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 2). Пусть имеется круг с диаметром OC = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ . BD = OC . ВМ. Геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). Уравнение в прямоугольных координатах. У = a3/(a2 + x2). Исследование этой Л.
Связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748). Кубическая парабола (см. Рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 3). Уравнение в прямоугольных координатах. У = x3. Полукубическая парабола (см. Рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 4), парабола Нейля. Уравнение в прямоугольных координатах. У = -сх3/2. Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги. Строфоида (от греч. Stróphos — кручёная лента и éidos — вид) (см. Рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 5). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а. Вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида.
Уравнение в прямоугольных координатах.
Дополнительный поиск Линия 
На нашем сайте Вы найдете значение "Линия" в словаре Большая Советская энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Линия, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "Л". Общая длина 5 символа
